Расчет деревянной балки кровли: сечение из C24, снеговая нагрузка, прогиб

Условие задачи

Клееные деревянные балки наклонной кровли мансарды жилого дома (на фото — балки ската, опертые на стену и коньковый прогон; снизу подшита окрашенная обшивка). Расчетная схема балки ската в горизонтальной проекции — однопролетная свободно опертая балка пролетом L = 4,5 м, шаг балок 0,9 м. Сбор нагрузок: постоянная от кровельного пирога (покрытие, утеплитель, обшивка) 0,72 кПа расчетная, на балку — 0,65 кН/м; снеговая для III снегового района S0 = 1,5 кПа, расчетное значение 2,1 кПа (СП 20.13330), на балку — 1,89 кН/м; суммарная расчетная нагрузка на балку q = 2,54 кН/м. Требуется определить реакции, построить эпюры Q, M, y(x) и θ(x), подобрать прямоугольное сечение из древесины хвойных пород класса C24 при соотношении сторон h/b = 3 и проверить жесткость: для балок с хрупкой отделкой предельный прогиб — L/400. Результат требуется продублировать независимым конечно-элементным расчетом.

распределенная: q = 2,54 кН/м (суммарная расчетная: кровельный пирог 0,65 + снег 1,89) — x = 0–4,5 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную шарнирно-опертую балку пролетом L = 4.5 м.

В точке A (x = 0 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 4.5 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложена равномерно распределенная нагрузка q₁ = 2.54 кН/м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— определение прогибов y(x) и углов поворота θ(x) поперечных сечений методом начальных параметров;

— численная проверка результатов методом трапеций (N = 400);

— подбор оптимального поперечного сечения балки.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.

Результаты расчета

Параметр	Значение	Комментарий
Реакции опор
R_A	5.72 кН	вертикальная реакция, опора A (x = 0 м)
R_B	5.72 кН	вертикальная реакция, опора B (x = 4.50 м)
Внутренние усилия
Q_max	5.72 кН	при x = 0 м
Q_min	-5.72 кН	при x = 4.50 м
M_max	6.43 кН·м	при x = 2.25 м
M_min	0 кН·м	при x = 0; 4.50 м
Перемещения
w_max	-11.2500 мм	при x = 2.25 м
θ_max	-0.0080 рад	при x = 0 м
Подбор сечения
Сечение	Прямоугольное сечение
h	255 мм
b	85 мм
Проверка прогиба
f_max	11,3 мм	пролет L = 4,5 м
[f]	11,3 мм	L/400 · СП 16.13330.2017 (СП 20.13330.2016, табл. Д.1)
Использование	100 %	Балки с хрупкой отделкой · Полная
Результат	На пределе	f = [f]: 11,3 = 11,3 мм

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

ΣP_ix=0: H_A=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

ΣM_A=0: — q₁ × 4.5 × (4.5/2) + R_B × 4.5=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:

ΣM_B=0: — R_A × 4.5 + q₁ × 4.5 × (4.5 — 4.5/2)=0

2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:

R_B=( q₁ × 4.5 × (4.5/2)) /4.5=( 2.54 × 4.5 × (4.5/2)) /4.5=5.72 (кН)

3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

R_A=( q₁ × 4.5 × (4.5 — 4.5/2)) /4.5=( 2.54 × 4.5 × (4.5 — 4.5/2)) /4.5=5.72 (кН)

4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

H_A=0 (кН)

5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:

ΣP_iy=0: R_A — q₁ × 4.5 + R_B= 5.72 × 1 — 2.54 × 4.5 + 5.72 × 1=0

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 4.5

Поперечная сила Q:

Q(x₁)=R_A — q₁ × (x₁ — 0)

Значения Q на краях участка:

Q₁(0)=5.72 — 2.54 × (0 — 0)=5.72 (кН)

Q₁(4.50)=5.72 — 2.54 × (4.5 — 0)=-5.72 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 2.25

Изгибающий момент M:

M(x₁)=R_A × (x₁) — q₁ × (x₁)²/2

Значения M на краях участка:

M₁(0)=5.72 × (0) — 2.54 × (0 — 0)²/2=0 (кН·м)

M₁(4.50)=5.72 × (4.50) — 2.54 × (4.50 — 0)²/2=0 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 2.25:

M₁(2.25)=5.72 × (2.25) — 2.54 × (2.25 — 0)²/2=6.43 (кН·м)

Определение прогибов и углов поворота

1.Для определения прогибов и углов поворота применяем метод начальных параметров (МНП). Жесткость балки EI = 1205.51 кН·м².

Дифференциальное уравнение упругой линии:

EI × y″(x)=−M(x)

Дважды интегрируя, получаем универсальное уравнение упругой линии:

EI × y(x)=EI × y₀ + EI × θ₀ × x − ∫∫M(x)dx²

2.Граничные условия и определение начальных параметров:

Прогиб над левой опорой A равен нулю, откуда EIw₀ = 0.

Начальный угол поворота θ₀ определим из условия нулевого прогиба над опорой B:

EI × w(x_B)=EIw₀ + EIθ₀ × 4.5 + R_A × z³/6 — q₁ × (z-0)⁴/24=EIw₀ + EIθ₀ × 4.5 + 5.72 × 4.5³/6 — 2.54 × (4.5−0)⁴/24=EIw₀ + 4.5 × EIθ₀ + 43.4=0

⇒ EIθ₀=-9.64 (кН·м²); EIw₀=0 (кН·м³)

3.Построение эпюр углов поворота и прогибов по участкам:

Участок I 0 ≤ z ≤ 4.5

Угол поворота сечения θ:

EIθ^I(z)=EIθ₀ + R_A × z²/2 — q₁ × (z-0)³/6=-9.64 + 5.72 × z²/2 — 2.54 × (z-0)³/6=— 0.42 × z³ + 2.86 × z² — 9.64;

Значения EIθ на краях отрезка:

EIθ^I(0)=— 0.42 × 0³ + 2.86 × 0² — 9.64=-9.64 (кН·м²);

EIθ^I(4.5)=— 0.42 × 4.5³ + 2.86 × 4.5² — 9.64=9.64 (кН·м²);

Прогиб w:

EIw^I(z)=EIθ₀ × z + R_A × z³/6 — q₁ × (z-0)⁴/24=-9.64 × z + 5.72 × z³/6 — 2.54 × (z-0)⁴/24=— 0.11 × z⁴ + 0.95 × z³ — 9.64 × z;

Значения EIw на краях отрезка:

EIw^I(0)=— 0.11 × 0⁴ + 0.95 × 0³ — 9.64 × 0=0 (кН·м³);

EIw^I(4.5)=— 0.11 × 4.5⁴ + 0.95 × 4.5³ — 9.64 × 4.5=0 (кН·м³);

Локальный экстремум в точке z = 2.25:

EIw^I(2.25)=— 0.11 × 2.25⁴ + 0.95 × 2.25³ — 9.64 × 2.25=-13.56 (кН·м³);

4.Максимальный прогиб и угол поворота:

EIw_max = EI·w = EIw(2.25) = — 0.11 × 2.25⁴ + 0.95 × 2.25³ — 9.64 × 2.25 = -13.5620 (кН·м³)

w_max = EIw_maxEI = -13.56201205.51 = -0.0113 (м) = -11.2500 (мм)

EIθ_max = EI·θ = EIθ(0) = — 0.42 × 0³ + 2.86 × 0² — 9.64 = -9.6441 (кН·м²)

θ_max = EIθ_maxEI = -9.64411205.51 = -0.0080 (рад)

5.Проверка граничных условий:

Опора A: EIw^I(0) = — 0.11 × 0⁴ + 0.95 × 0³ — 9.64 × 0 = 0 (кН·м³) ✓

Опора B: EIw^I(4.50) = — 0.11 × 4.5⁴ + 0.95 × 4.5³ — 9.64 × 4.5 = 0 (кН·м³) ✓

6.Численная проверка (метод трапеций, N=400):

Для независимого контроля точности эпюры прогибов y(x) и углов поворота θ(x), построенные методом начальных параметров (аналитически), сверяются с результатами численного расчета — двойного интегрирования эпюры изгибающих моментов M(x) методом трапеций.

Δ — абсолютная погрешность численного метода: Δ = |аналитическое − численное| значение.

z, м	EIw аналит.	EIw числ.	Δ	EIθ аналит.	EIθ числ.	Δ
0	0	0	0	-9.6441	-9.6440	0.0001
2.25	-13.5620	-13.5615	0.0005	0	0	0
4.50	0	0	0	9.6441	9.6440	0.0001

Максимальные отклонения: ΔEIw_max = 0.0005 ΔEIθ_max = 0.0001

Относительная погрешность: δ_w = 0.0033 % δ_θ = 0.0006 %

Вывод: результаты аналитического и численного методов согласуются (δ ≤ 5%) — эпюры построены корректно.

Проверка прогиба

Норматив: СП 16.13330.2017 — Балки с хрупкой отделкой (Полная), СП 20.13330.2016, табл. Д.1.

Расчетный пролет: L = 4,5 м.

Предельный прогиб: [f] = L/400 = 11,3 мм.

Фактический прогиб: f = 11,3 мм (из эпюры y(x)).

Условие: f = [f] → На пределе. Использование 100%.

Подбор сечения

Прямоугольное сечение балки подбираем из условия прочности при допустимом напряжении \([\sigma] =\)14 (МПа):

\(\sigma = \frac{M_{max}}{W_x} \leq [\sigma]\)

где: \(\sigma\) — нормальные напряжения, МПа;

\(M_{max}\) — наибольшее по абсолютной величине значение изгибающего момента, определяемое по эпюре Mx, кН × м;

\(W_{x}\) – момент сопротивления, см³;

\([\sigma]\) — допустимое значение нормального напряжения (расчетное сопротивление), МПа;

Момент сопротивления прямоугольного сечения определим по формуле:

\(W_{x} = \frac{b × h^{2}}{6}\)

Из эпюры изгибающих моментов М определяем, что M_max = 6.43 (кН × м)

Выполним перевод единиц измерения максимального изгибающего момента в с систему СИ: M_max = 6.43 (кН × м) = 6430 (Н × м).

Требуемый момент сопротивления \(W_{x}^{тр}\) определяем по формуле:

\(W_{x}^{тр} = \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{6430(Н × м)}{[14 (МПа)]} = 459.286 (см^{3})\)

Поскольку дано соотношение сторон \(a = \frac{h}{b} = 3\), то \(h = b × 3\)

\(b = \sqrt[3]{\frac{6 × W_{mp}}{a^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{6 × 459.286 (см^{3})}{3^{2}}} = 6.74 (см) = 67.4 (мм)\)

\(h = 67.401 (мм) × 3 = 20.22 (см) = 202.2 (мм)\)

Отметим, что полученные размеры являются минимально необходимыми для обеспечения прочности заданной балки. Следовательно, за окончательные размеры прямоугольного сечения балки принимаем: h=255 (мм), b=85 (мм).

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 963 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 1097 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки; теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Расчеты

Служба поддержки

Заявка принята