Загрузка профиля

Расчет консольной балки, подбор прямоугольного сечения, эпюры онлайн

Условие задачи

Консольная балка длиной 2.1 м с жесткой заделкой в точке A на правом конце (свободный конец слева, координата x отсчитывается от него). На балку действуют: равномерно распределенная нагрузка q1 = 90 кН/м на участке от 0 до 1 м (направлена вниз), сосредоточенная сила P1 = 70 кН в сечении x = 1 м (направлена вверх) и сосредоточенный момент M1 = 18 кН*м в сечении x = 1.5 м. Требуется определить опорные реакции, построить эпюры Q и M и подобрать прямоугольное сечение при [σ] = 160 МПа и заданном соотношении сторон h/b = 2.

  • распределенная: q1 = 90 кН/м — x = от 0 до 1 (от свободного конца) м
  • сила: P1 = 70 кН — x = 1 м
  • момент: M1 = 18 кН*м — x = 1.5 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля
Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

01

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую консольную балку, закрепленную жесткой заделкой на правом конце пролетом L = 2.1 м.

В точке A (x = 2.1 м) установлена жесткая заделка, воспринимающая продольную и поперечную силы, а также реактивный момент.

К балке приложены следующие нагрузки:

— равномерно распределенная нагрузка q1 = 90 кН/м;

— сосредоточенная вертикальная сила P1 = 70 кН;

— сосредоточенный момент M1 = 18 кН·м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— подбор оптимального поперечного сечения балки.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.
02

Результаты расчета

Параметр Значение Комментарий
Реакции опор
RA -20 кН вертикальная реакция, опора A (x = 2.10 м)
MA 49 кН·м реактивный момент, опора A (x = 2.10 м)
Внутренние усилия
Qmax 90 кН при x = 1 м
Qmin 0 кН при x = 0 м
Mmax 55 кН·м при x = 1.50 м
Mmin 0 кН·м при x = 0 м
Подбор сечения
Сечение Прямоугольное сечение
h 165 мм
b 85 мм
03

Определение опорных реакций

Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

1.На балку наложена связь в точке A (справа) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (HA, RA, MA).
2.Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки: ΣPix = 0, ΣPiy = 0, ΣMA(P) = 0.
ΣPix=0: HA=0
ΣPiy=0: q1 × 1 — P1 + RA=0,
ΣMA=0: — q1*1*(1.1 + 1/2) + 1.1 × P1 + M1 + MA=0;
3.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
HA=0 (кН)
RA= — q1 × 1 + P1= — 90 × 1 + 70=-20 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
MA= q1*1*(1.1+1/2) — 1.1 × P1 — M1= + 90 × 1*(1.1 + 1/2) — 1.1 × 70 — 18=49 (кН·м)
4.Выполним проверку, составив дополнительное моментное уравнение относительно свободного конца балки:
q1*1*(1/2) — 1 × P1 + M1 — 2.1 × RA + MA= 90 × 1*(1/2) — 1 × 70 + 18.00 — 2.1 × 20.00 + 49.00=0
04

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 1
Поперечная сила Q:
Q(x1)=q1 × (x1 — 0)
Значения Q на краях участка:
Q1(0)=90 × (0 — 0)=0 (кН)
Q1(1)=90 × (1 — 0)=90 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x1)=q1 × (x1)2/2
Значения M на краях участка:
M1(0)=90 × (0 — 0)2/2=0 (кН·м)
M1(1)=90 × (1 — 0)2/2=45 (кН·м)
2.Рассмотрим второй участок 1 ≤ x2 < 1.5
Поперечная сила Q:
Q(x2)=q1 × (1 — 0) — P1
Значения Q на краях участка:
Q2(1)=90 × (1 — 0) — 70=20 (кН)
Q2(1.50)=90 × (1 — 0) — 70=20 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2)=q1 × (1 — 0) × [(x2 — 1) + (1 — 0)/2] — P1 × (x2 — 1)
Значения M на краях участка:
M2(1)=90 × 1 × (0 + 0.50) — 70 × (1 — 1)=45 (кН·м)
M2(1.50)=90 × 1 × (0.50 + 0.50) — 70 × (1.50 — 1)=55 (кН·м)
3.Рассмотрим третий участок 1.5 ≤ x3 < 2.1
Поперечная сила Q:
Q(x3)=q1 × (1 — 0) — P1
Значения Q на краях участка:
Q3(1.50)=90 × (1 — 0) — 70=20 (кН)
Q3(2.10)=90 × (1 — 0) — 70=20 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3)=q1 × (1 — 0) × [(x3 — 1) + (1 — 0)/2] — P1 × (x3 — 1) — M1
Значения M на краях участка:
M3(1.50)=90 × 1 × (0.50 + 0.50) — 70 × (1.50 — 1) — 18=37 (кН·м)
M3(2.10)=90 × 1 × (1.10 + 0.50) — 70 × (2.10 — 1) — 18=49 (кН·м)
05

Подбор сечения

Прямоугольное сечение балки подбираем из условия прочности при допустимом напряжении \([\sigma] =\)160 (МПа):

\(\sigma = \frac{M_{max}}{W_x} \leq [\sigma]\)

где: \(\sigma\) — нормальные напряжения, МПа;

\(M_{max}\) — наибольшее по абсолютной величине значение изгибающего момента, определяемое по эпюре Mx, кН × м;

\(W_{x}\) – момент сопротивления, см3;

\([\sigma]\) — допустимое значение нормального напряжения (расчетное сопротивление), МПа;

Момент сопротивления прямоугольного сечения определим по формуле:
\(W_{x} = \frac{b × h^{2}}{6}\)

Из эпюры изгибающих моментов М определяем, что Mmax = 55 (кН × м)

Выполним перевод единиц измерения максимального изгибающего момента в с систему СИ: Mmax = 55 (кН × м) = 55000 (Н × м).

Требуемый момент сопротивления \(W_{x}^{тр}\) определяем по формуле:

\(W_{x}^{тр} = \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{55000(Н × м)}{[160 (МПа)]} = 343.75 (см^{3})\)

Поскольку дано соотношение сторон \(a = \frac{h}{b} = 2\), то \(h = b × 2\)

\(b = \sqrt[3]{\frac{6 × W_{mp}}{a^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{6 × 343.75 (см^{3})}{2^{2}}} = 8.019 (см) = 80.2 (мм)\)
\(h = 80.188 (мм) × 2 = 16.038 (см) = 160.4 (мм)\)

Отметим, что полученные размеры являются минимально необходимыми для обеспечения прочности заданной балки. Следовательно, за окончательные размеры прямоугольного сечения балки принимаем: h=165 (мм), b=85 (мм).

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 382 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 762 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки;
теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Обновлено 26 августа, 2026