Загрузка профиля

Расчет шарнирно-опертой балки, подбор прямоугольного сечения, эпюры онлайн

Условие задачи

Шарнирно-опертая балка длиной 4.5 м с консолью: шарнирно-неподвижная опора A в точке x=0, шарнирно-подвижная опора B в точке x=3 м, консоль справа до x=4.5 м. Нагрузки: распределенная q1=40 кН/м на участке 0-3 м, сосредоточенный момент M1=30 кН*м в точке x=4 м, сила P1=10 кН на конце консоли x=4.5 м. Требуется определить реакции, построить эпюры Q и M и подобрать прямоугольное сечение при [σ]=160 МПа и заданном соотношении сторон h/b = 2.

  • распределенная: q1 = 40 кН/м — x = 0–3 м
  • момент: M1 = 30 кН*м — x = 4 м
  • сила: P1 = 10 кН — x = 4.5 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля
Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

01

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную балку с консольными свесами пролетом L = 4.5 м. Пролет между опорами составляет 3 м.

В точке A (x = 0 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 3 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложены следующие нагрузки:

— равномерно распределенная нагрузка q1 = 40 кН/м;

— сосредоточенный момент M1 = 30 кН·м;

— сосредоточенная вертикальная сила P1 = 10 кН.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— подбор оптимального поперечного сечения балки.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.
02

Результаты расчета

Параметр Значение Комментарий
Реакции опор
RA -55 кН вертикальная реакция, опора A (x = 0 м)
RB -55 кН вертикальная реакция, опора B (x = 3 м)
Внутренние усилия
Qmax 65 кН при x = 3 м
Qmin -55 кН при x = 0 м
Mmax 25 кН·м при x = 4 м
Mmin -37.50 кН·м при x = 1.50 м
Подбор сечения
Сечение Прямоугольное сечение
h 145 мм
b 75 мм
03

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣPix=0: HA=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
ΣMA=0: q1 × 3 × (3/2) + RB × 3 + M1 — P1 × 4.5=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
ΣMB=0: — RA × 3 — q1 × 3 × (3 — 3/2) + M1 — P1 × 1.5=0
2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:
RB=( — q1 × 3 × (3/2) — M1 + P1 × 4.5) /3=( — 40 × 3 × (3/2) — 30 + 10 × 4.5) /3=-55 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
RA=( — q1 × 3 × (3 — 3/2) + M1 — P1 × 1.5) /3=( — 40 × 3 × (3 — 3/2) + 30 — 10 × 1.5) /3=-55 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
HA=0 (кН)
5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:
ΣPiy=0: — RA + q1 × 3 — RB — P1= — 55 × 1 + 40 × 3 — 55 × 1 — 10=0
04

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 3
Поперечная сила Q:
Q(x1)= — RA + q1 × (x1 — 0)
Значения Q на краях участка:
Q1(0)= — 55 + 40 × (0 — 0)=-55 (кН)
Q1(3)= — 55 + 40 × (3 — 0)=65 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 1.38

Изгибающий момент M:
M(x1)= — RA × (x1) + q1 × (x1)2/2
Значения M на краях участка:
M1(0)= — 55 × (0) + 40 × (0 — 0)2/2=0 (кН·м)
M1(3)= — 55 × (3) + 40 × (3 — 0)2/2=15 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 1.38:

M1(1.38)= — 55 × (1.38) + 40 × (1.38 — 0)2/2=-37.81 (кН·м)
2.Рассмотрим второй участок 3 ≤ x2 < 4
Поперечная сила Q:
Q(x2)= — RA + q1 × (3 — 0) — RB
Значения Q на краях участка:
Q2(3)= — 55 + 40 × (3 — 0) — 55=10 (кН)
Q2(4)= — 55 + 40 × (3 — 0) — 55=10 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2)= — RA × (x2) + q1 × (3 — 0) × [(x2 — 3) + (3 — 0)/2] — RB × (x2 — 3)
Значения M на краях участка:
M2(3)= — 55 × (3) + 40 × 3 × (0 + 1.50) — 55 × (3 — 3)=15 (кН·м)
M2(4)= — 55 × (4) + 40 × 3 × (1 + 1.50) — 55 × (4 — 3)=25 (кН·м)
3.Рассмотрим третий участок 4 ≤ x3 < 4.5
Поперечная сила Q:
Q(x3)= — RA + q1 × (3 — 0) — RB
Значения Q на краях участка:
Q3(4)= — 55 + 40 × (3 — 0) — 55=10 (кН)
Q3(4.50)= — 55 + 40 × (3 — 0) — 55=10 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3)= — RA × (x3) + q1 × (3 — 0) × [(x3 — 3) + (3 — 0)/2] — RB × (x3 — 3) — M1
Значения M на краях участка:
M3(4)= — 55 × (4) + 40 × 3 × (1 + 1.50) — 55 × (4 — 3) — 30=-5 (кН·м)
M3(4.50)= — 55 × (4.50) + 40 × 3 × (1.50 + 1.50) — 55 × (4.50 — 3) — 30=0 (кН·м)
05

Подбор сечения

Прямоугольное сечение балки подбираем из условия прочности при допустимом напряжении \([\sigma] =\)160 (МПа):

\(\sigma = \frac{M_{max}}{W_x} \leq [\sigma]\)

где: \(\sigma\) — нормальные напряжения, МПа;

\(M_{max}\) — наибольшее по абсолютной величине значение изгибающего момента, определяемое по эпюре Mx, кН × м;

\(W_{x}\) – момент сопротивления, см3;

\([\sigma]\) — допустимое значение нормального напряжения (расчетное сопротивление), МПа;

Момент сопротивления прямоугольного сечения определим по формуле:
\(W_{x} = \frac{b × h^{2}}{6}\)

Из эпюры изгибающих моментов М определяем, что Mmax = 37.81 (кН × м)

Выполним перевод единиц измерения максимального изгибающего момента в с систему СИ: Mmax = 37.81 (кН × м) = 37810 (Н × м).

Требуемый момент сопротивления \(W_{x}^{тр}\) определяем по формуле:

\(W_{x}^{тр} = \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{37810(Н × м)}{[160 (МПа)]} = 236.313 (см^{3})\)

Поскольку дано соотношение сторон \(a = \frac{h}{b} = 2\), то \(h = b × 2\)

\(b = \sqrt[3]{\frac{6 × W_{mp}}{a^{2}}} = \sqrt[3]{\frac{6 × 236.313 (см^{3})}{2^{2}}} = 7.077 (см) = 70.8 (мм)\)
\(h = 70.772 (мм) × 2 = 14.154 (см) = 141.5 (мм)\)

Отметим, что полученные размеры являются минимально необходимыми для обеспечения прочности заданной балки. Следовательно, за окончательные размеры прямоугольного сечения балки принимаем: h=145 (мм), b=75 (мм).

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 431 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 928 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки;
теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Обновлено 26 августа, 2026