Расчет момента инерции сечения онлайн: центр тяжести, осевые и центробежные моменты инерции, моменты сопротивления — с ходом решения.
Расчет сечения, карты напряжений и отчеты Word/PDF — бесплатно. Полный ход решения — по коду доступа.
ГОСТ · AISC · 12 фигурТип → страна → стандарт → серия → размерДвутавры, швеллеры, уголки, тавры и трубы из сортаментов с табличными A, I, W и i. Параметрические прямоугольник, двутавр, швеллер, коробка, крест, кольцо — размерами в форме, с поворотом на любой угол и отверстиями.
полигон · дуги · ось + tПривязки → булевы операции → массивыКонтур по точкам и полилиния с дугами, отверстия, объединение и вычитание фигур, смещение контура, скругления и фаски, линейные и круговые массивы. Тонкостенный профиль — по осевой линии с толщиной стенки.
контуры · оси · подложкаФайл → режим → опорная точкаЗамкнутые контуры чертежа становятся фигурами, вложенные — отверстиями, разрывы сшиваются с заданным допуском. Осевые линии превращаются в стенки заданной толщины, чертеж можно положить подложкой и обвести.
Каждый блок ниже показывает один шаг на реальном интерфейсе модуля и реальном сечении.
Профиль выбирается так же, как в справочнике: тип → страна → стандарт → серия → размер. В расчет идут табличные A, Ix, Iy, W и радиусы инерции, в ходе решения — со ссылкой на стандарт. Профиль ставится координатами и поворачивается на любой угол: так из нескольких профилей собирается составное сечение — колонна из двух швеллеров, пояс из двух уголков, двутавр со швеллером.
В библиотеке двутавры по ГОСТ Р 57837-2017 (ГОСТ 35087-2024), ГОСТ 26020-83, СТО АСЧМ 20-93 и ГОСТ 8239-89, швеллеры по ГОСТ 8240-97 и гнутые по ГОСТ 8278-83*, уголки по ГОСТ 8509-93 и ГОСТ 8510-86, тавры, профильные трубы по ГОСТ 30245-2003, круглые трубы по ГОСТ 10704-91 и ГОСТ 8732-78, профили AISC. Железобетонные заготовки — балки прямоугольного, таврового и двутаврового сечения, колонны, кольцо и плита — с раскладкой арматуры по СП 63.13330.2018, EN 1992-1-1, ACI 318-19 и другим нормам.
Сечение подкрановой балки под опорную кран-балку: двутавр 20 по ГОСТ 8239-89 и швеллер 20У по ГОСТ 8240-97 стенкой на верхнем поясе — швеллер воспринимает горизонтальные силы торможения. Фрагменты ниже — страница хода решения модуля: каждый шаг с формулой и подстановкой чисел, табличные величины — со ссылкой на стандарт.
Дано
Найти: площадь, положение центра тяжести, осевые моменты инерции относительно центральных осей и моменты сопротивления.
Решение
Статический момент составной фигуры относительно оси Ox равен сумме моментов частей: площадь каждой части умножается на расстояние от ее центра тяжести до оси. Центр швеллера после поворота лежит на 20,52 − 2,07 = 18,45 см от низа.
Sx = 267,9 + 431,55 = 699,45 см³
Сечение симметрично относительно вертикальной оси, поэтому xc лежит на ней. Центр тяжести смещен к швеллеру: 13,94 см от низа при высоте сечения 20,52 см — на 3,94 см выше центра двутавра.
A = 50,18 см²xc = 10 смyc = 13,94 см
Для повернутого профиля собственный момент инерции пересчитывается по формулам поворота осей: при α = 270° cos²α = 0 и sin²α = 1, поэтому I′x швеллера равен его табличному Iy = 113,46 см⁴. Затем по теореме о параллельном переносе осей добавляется A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до центральной оси Xc.
Ixc = 2253,61 + 589,48 = 2843,09 см⁴
Момент сопротивления равен моменту инерции, деленному на расстояние до наиболее удаленной точки: ymax = max(yc; h − yc). Нижнее волокно отстоит от центра тяжести на 13,94 см, верхнее — на 6,58 см, поэтому расчетный Wx относится к нижнему поясу.
Wx = 203,97 см³Wy = 163,70 см³
Ответ
Ix = 2843 см⁴, Wx,min = 204 см³
Швеллер на верхнем поясе увеличил момент инерции относительно горизонтальной оси x на 55 %, а относительно вертикальной оси y — в 14 раз: Iy = 1637 см⁴ против 115,5 см⁴ у одного двутавра. Это и нужно для восприятия горизонтальных сил торможения.
Сечение разбивается на треугольные конечные элементы второго порядка, сетка строится автоматически. Метод дает величины, которые аналитический расчет модуля не выдает: момент инерции при свободном кручении It, секториальный момент инерции Iω, координаты центра изгиба, площади сдвига, пластические моменты сопротивления Wpl и коэффициент формы, жесткости EA, EI, GIt, EIω и погонную массу.
Сварная подкрановая балка: верхний пояс 400×20, стенка 960×10, нижний пояс 300×16 мм. Центр изгиба S лежит на 17,3 см выше центра тяжести C — к широкому верхнему поясу; It = 176,8 см⁴, Iω = 2,575·10⁷ см⁶. Если верхний пояс не раскреплен тормозной конструкцией, It входит в коэффициент φb проверки общей устойчивости по приложению Ж СП 16.13330, Iω и центр изгиба — в расчет на изгиб с кручением. Саму проверку конструктор не выполняет: он готовит для нее характеристики.
Метод выбирается автоматически по составу сечения. Для параметрических фигур из одного материала работают оба: аналитический расчет дает ход решения, МКЭ в фоне дополняет панель характеристиками кручения.
| Сечение | Метод | Что считается | Отчет |
|---|---|---|---|
| Параметрические фигуры, один материал | аналитика МКЭ | A, S, центр тяжести, I, W, i, главные оси; по МКЭ — It, Iω, центр изгиба, Wpl | ход решения и сводка Word/PDF |
| Профили из сортамента, один материал | аналитика | A, S, центр тяжести, I, W, i, главные оси — по табличным данным стандарта | ход решения |
| Произвольный контур, тонкостенный профиль, DXF и DWG | МКЭ | все величины панели и карты напряжений | сводка Word/PDF |
| Железобетон и несколько материалов | МКЭ | приведенные A, I, W, i; армирование As, μ | сводка Word/PDF |
Тонкостенный профиль задается осевой линией: вершины — щелчками или длиной и углом, затем толщина стенки и радиус гиба. Контур строится по фактической геометрии полосы и считается методом конечных элементов — открытые и замкнутые профили, с отгибами и без.
Прогон из гнутого С-профиля 200×70×20 мм толщиной 2 мм: A = 7,44 см², Ix = 457,2 см⁴, It ≈ 0,10 см⁴, Iω = 3928 см⁶. Центр изгиба S лежит за стенкой, в 50 мм от центра тяжести и в 30,8 мм от оси стенки, поэтому нагрузка, приложенная к полке, закручивает профиль. Характеристики даются для полного сечения: эффективное (редуцированное) сечение и местная устойчивость не рассчитываются.
Чертеж профиля из САПР загружается файлом DXF или DWG. Режимов импорта три: контуры → фигуры — замкнутые контуры становятся фигурами, вложенные — отверстиями, разомкнутые линии и дуги сшиваются с заданным допуском; осевые линии → тонкостенные элементы — каждая цепочка становится стенкой заданной толщины; подложка для обводки — чертеж ложится бледным шаблоном, к его узлам привязывается полилиния.
До импорта видно, что получится: число примитивов и цепочек, разрывы, габарит, число фигур и отверстий. Единицы файла берутся из заголовка ($INSUNITS) или задаются вручную; опорная точка, смещение и поворот выбираются в том же окне. DWG принимается версий R13–2018: AutoCAD 2019–2026 сохраняет чертеж в формате 2018.
Материал назначается каждой фигуре. Сечение из нескольких материалов приводится к материалу с наибольшим модулем упругости, более жесткие включения вырезаются из основного материала. Для железобетона в панели показываются площадь арматуры As, коэффициент армирования μ и минимальное армирование, в рабочей области — выноски стержней и размеры.
Тавровая балка монолитного ребристого перекрытия: полка 1000×100, ребро 250 мм, высота 500 мм, бетон B25, арматура А500 — 3∅22 снизу и 2∅22 сверху. As = 19,01 см², μ = As/Ab = 0,95 % по всему сечению. Приведенный к стали момент инерции Ired = 77 345 см⁴, к бетону — 515 600 см⁴, на 13,5 % больше, чем у бетонного сечения брутто. Расчет упругий, без трещин: прочность и трещиностойкость железобетона конструктор не проверяет.
У несимметричного сечения центробежный момент инерции Ixy не равен нулю, и главные оси повернуты относительно центральных. Сварной Z-профиль из листов 180×10 и 80×10 мм: Ix = 1931,3 см⁴, Iy = 282,8 см⁴, Ixy = 532,0 см⁴. Главные моменты Iu = 2088,1 и Iv = 126,1 см⁴, угол наклона главных осей α = −16,42°.
В рабочей области включаются центральные и главные оси и эллипс инерции, в панели — радиусы инерции. Главные оси выводятся в панели и сводке Word/PDF; в ход решения они не входят. Ядро сечения модуль строит по четырем ядровым расстояниям a = W/A вдоль центральных осей: для симметричных сечений это точный контур, для несимметричных, как этот Z-профиль, — оценка.
По заданным усилиям — продольной силе N, изгибающим моментам My и Mz, поперечным силам Qy и Qz, крутящему моменту T — по конечноэлементной сетке строится поле напряжений: нормальные σ, касательные τ, напряжения по Мизесу и главные σ1, σ3. Цветовая шкала — в МПа, сетку можно показать поверх.
Тот же Z-профиль под изгибающим моментом 15 кН·м в вертикальной плоскости: из-за Ixy ≠ 0 нейтральная линия наклонена, наибольшие напряжения ±176 МПа возникают в углах у стенки, а не по всей полке. Это косой изгиб, который не виден в расчете по одной оси.
Семь сечений из реальных конструкций. Каждое открывается в конструкторе одним нажатием, файл проекта и отчеты можно скачать. Числа в карточках — из панели результатов модуля и сверены с ручным расчетом.
Аналитика + МКЭ
Балка пролетом 12 м под мостовой кран: верхний пояс шире, он воспринимает давление колеса и боковые силы. Без тормозной конструкции для проверки общей устойчивости нужны It и положение центра изгиба.
Ход решения
Подкрановая балка под опорную кран-балку: швеллер стенкой на верхнем поясе воспринимает горизонтальные силы торможения. Классическая задача на центр тяжести составного сечения.
Ход решения
Ветви полками внутрь, 220 мм между спинками, соединены планками. Расстояние между ветвями подбирают так, чтобы iy относительно свободной оси было больше ix — с запасом на гибкость ветви.
Ход решения
Тавр из равнополочных уголков по ГОСТ 8509-93 с зазором 10 мм под фасонку — верхний сжатый пояс стропильной фермы. ix и iy нужны для гибкости в плоскости и из плоскости фермы.
Ход решения · главные оси в панели
Прогон или ригель фахверка из листов 180×10 и 80×10 мм. Сечение несимметричное: при вертикальной нагрузке изгиб косой.
МКЭ
Прогон кровли из гнутого профиля. Контур полосы задан без радиусов гиба — для сверки с формулами тонкостенных стержней.
МКЭ · железобетон
Второстепенная балка с плитой в сжатой зоне: полка 1000×100, ребро 250 мм, высота 500 мм, 3∅22 и 2∅22 А500. Приведенные характеристики — для элементов без трещин и начальной жесткости в статически неопределимых системах.
Кнопка «Открыть в конструкторе» открывает пример сразу с готовыми результатами и ходом решения. Файл проекта открывается через «Проект → Открыть проект из файла» без готового ответа — нажмите «Рассчитать». Конструктор сечений бесплатный: расчет своего или измененного сечения и скачивание отчета Word/PDF — без кода доступа. Полный отчет с ходом решения аналитическим методом для своего сечения — по коду доступа.
Обозначения — как в панели результатов и сводке Word/PDF. Для сечений из нескольких материалов характеристики кручения, пластические и сдвиговые величины не выдаются.
| Величина | Обозначение | Единицы | Метод | Ход решения |
|---|---|---|---|---|
| Площадь | A | см² | аналитика МКЭ | да |
| Статические моменты | Sx, Sy | см³ | аналитика МКЭ | да |
| Центр тяжести | xc, yc | см | аналитика МКЭ | да |
| Осевые моменты инерции | Ix, Iy | см⁴ | аналитика МКЭ | да |
| Моменты сопротивления по крайнему волокну | Wx, Wy | см³ | аналитика МКЭ | да |
| Моменты сопротивления по каждому волокну | Wx±, Wy± | см³ | МКЭ | — |
| Центробежный и полярный моменты инерции | Ixy, Ip | см⁴ | аналитика МКЭ | — |
| Главные моменты инерции и угол | Iu, Iv, α | см⁴, ° | аналитика МКЭ | — |
| Радиусы инерции | ix, iy, iu, iv | см | аналитика МКЭ | — |
| Ядровые расстояния | ax±, ay± | см | МКЭ | — |
| Статический момент полусечения и ширина на нейтральной оси | S½, b | см³, см | МКЭ | — |
| Площади сдвига | Asx, Asy | см² | МКЭ | — |
| Момент инерции при свободном кручении | It | см⁴ | МКЭ | — |
| Секториальный момент инерции | Iω | см⁶ | МКЭ | — |
| Центр изгиба | xs, ys | см | МКЭ | — |
| Пластические моменты сопротивления | Wpl,x, Wpl,y, kpl | см³ | МКЭ | — |
| Пластический центр | xpc, ypc | см | МКЭ | — |
| Жесткости | EA, EI, GIt, EIω | кН, кН·м², кН·м⁴ | МКЭ | — |
| Погонная масса и моменты инерции массы | g, Imx, Imy | кг/м, кг·м²/м | МКЭ | — |
| Армирование | As, μ, As,min | см², % | МКЭ | — |
| Габариты и периметры | b, h, Pext, Pint | см | МКЭ | — |
Определения величин — в справке: геометрические характеристики сечения.
Числа на странице сверены с независимым ручным расчетом: по сортаменту и теореме о параллельном переносе осей, по формулам тонкостенных стержней и методом приведенного сечения.
| Пример | Величина | Вручную | Модуль | Δ, % |
|---|---|---|---|---|
| Подкрановая балка | yc, см | 56,643 | 56,64 | 0,00 |
| Подкрановая балка | Ix, см⁴ | 369 043,2 | 369 043,2 | 0,00 |
| Подкрановая балка | центр изгиба ys, см | 73,92* | 73,90 | 0,03 |
| Подкрановая балка | Iω, см⁶ | 2,5745·10⁷* | 2,5749·10⁷ | 0,02 |
| Подкрановая балка | It, см⁴ | 179,6** | 176,8 | 1,6 |
| Двутавр + швеллер | Ix, см⁴ | 2843,09 | 2843,09 | 0,00 |
| Z-профиль | Iu, см⁴ | 2088,11 | 2088,11 | 0,00 |
| Z-профиль | α, ° | −16,42 | −16,42 | 0,00 |
| С-профиль | Iω, см⁶ | 3927* | 3928 | 0,03 |
| С-профиль | центр изгиба от оси стенки, мм | 30,8* | 30,8 | 0,0 |
| ЖБ тавр | Ired к стали, см⁴ | 77 360 | 77 345 | 0,02 |
* По формулам тонкостенных стержней для осевых линий. ** Приближение It ≈ Σb·t³/3 не учитывает краевой эффект свободных кромок листов и узлы сопряжения стенки с поясами; МКЭ считает по фактическому контуру, поэтому расхождение 1–2 % здесь ожидаемо.
Сверено 15.10.2026 на текущей версии модуля.
Сечение, собранное в конструкторе, уходит в расчет балки и рамы через пункт «Создать сечение в конструкторе»: модуль получает площадь, моменты инерции и сопротивления, а модуль балки — еще и материал. Карта показывает все разделы платформы — что связано между собой и что считается отдельно.
Плитка «Создать сечение в конструкторе» в модуле балки открывает этот же конструктор. После расчета в балку возвращаются A, Ix, Iy, Wx, Wy, данные для касательных напряжений и материал, а 3D-вид балки показывает реальный контур сечения.
Стойки и ригели
Модуль рам принимает сечение из конструктора тем же пунктом «Создать сечение в конструкторе»: стойка из двух швеллеров или сварной ригель считаются по собственным A, I и W.
Пояса и решетка
Ферма считается в модуле рам: пояс из двух уголков или гнутый профиль собирают в конструкторе, а усилия в стержнях показывает эпюра N.
Разобраться и проверить
Библиотека, черчение, булевы операции, массивы, смещение и скругление контура, импорт DXF и DWG, раскладка арматуры, файл проекта. Все величины панели результатов, карты напряжений, центр тяжести, центр изгиба и оси в рабочей области — без кода доступа.
Сводка Word и PDF с рисунком сечения — бесплатно. Полный отчет с формулами и подстановкой чисел (ход решения аналитическим методом) — по коду доступа: 1 расчет, повторное открытие — без списания. Ход решения примеров — бесплатно.
Конструктор, открытый из модуля балки, рамы или фермы, считает сечение бесплатно и передает характеристики в расчет. Код доступа нужен для значений и отчета самой конструкции.
Момент инерции Ix характеризует жесткость сечения при изгибе и входит в расчет прогибов. Момент сопротивления Wx = Ix/ymax связывает изгибающий момент с напряжением в крайнем волокне: σ = M/W. У несимметричного сечения два момента сопротивления — для верхнего и нижнего волокна; в проверке прочности берется меньший.
Сечение делят на простые части. Центр тяжести находят через статические моменты: yc = ΣAi·yi / ΣAi. Момент инерции относительно центральной оси складывают по теореме о параллельном переносе осей: Ix = Σ(Ix,i + Ai·di²), где Ix,i берется относительно собственной центральной оси части. Конструктор выводит эти шаги с подстановкой чисел в ходе решения.
Россия: двутавры по ГОСТ Р 57837-2017 (ГОСТ 35087-2024), ГОСТ 26020-83, СТО АСЧМ 20-93 и ГОСТ 8239-89; швеллеры по ГОСТ 8240-97 и гнутые по ГОСТ 8278-83*; уголки по ГОСТ 8509-93 и ГОСТ 8510-86; тавры, профильные трубы по ГОСТ 30245-2003, круглые трубы по ГОСТ 10704-91 и ГОСТ 8732-78. США: профили AISC — W, C, L, WT, HSS, PIPE и другие. Еще — профили EN 10219. Всего 6 633 типоразмера.
Метод выбирается автоматически. Сечения из библиотечных фигур одного материала считаются аналитически, с ходом решения. Произвольный контур, тонкостенные элементы, сечения из DXF и DWG, железобетонные и многоматериальные сечения считаются методом конечных элементов. Для параметрических фигур МКЭ дополнительно дает характеристики кручения, центр изгиба и Wpl.
Ip = Ix + Iy совпадает с It только для круга и кольца. Для открытых тонкостенных сечений It на порядки меньше Ip: у двутавра или швеллера его оценивают как Σb·t³/3. Поэтому в расчетах на кручение и общую устойчивость нужен именно It, который конструктор вычисляет методом конечных элементов.
Да, тонкостенным контуром по осевой линии с толщиной и радиусом гиба. Конструктор дает характеристики полного сечения: A, I, W, It, Iω и положение центра изгиба. Эффективное (редуцированное) сечение и местная устойчивость не рассчитываются.
Текстовый (ASCII) DXF и DWG версий R13–2018 (AutoCAD 2019–2026 сохраняет чертеж в формате 2018); формат определяется по содержимому файла. Читаются отрезки, дуги, окружности, полилинии и другие геометрические примитивы; текст, размеры и штриховки пропускаются. Режимов три: контуры → фигуры, осевые линии → тонкостенные элементы и подложка для обводки.
Методом приведенного сечения в упругой стадии при полном сцеплении: сечение приводится к материалу с наибольшим модулем упругости. Для таких сечений It, Iω и Wpl не выдаются, карта напряжений строится как для однородного сечения, а прочность железобетона не проверяется.
В параметрах сечения модуля выберите «Создать сечение в конструкторе». После расчета в модуль передаются площадь, моменты инерции и сопротивления; в расчет балки — еще материал, данные для касательных напряжений и реальный контур для 3D-вида. Ферма считается в модуле рам.
Отчетов два. Ход решения — площадь, статические моменты, центр тяжести, моменты инерции по теореме о параллельном переносе осей, моменты сопротивления; это страница расчета, ее можно сохранить в PDF. Сводка в Word или PDF — все величины панели, включая главные оси, It, Iω и центр изгиба, и рисунок сечения.
Почти все. Конструктор сечений бесплатный: построение любым способом, импорт DXF и DWG, раскладка арматуры, все характеристики, карты напряжений, отчеты Word/PDF и ход решения примеров доступны без кода доступа. Код доступа нужен для полного отчета с ходом решения аналитическим методом по своему сечению (1 расчет) и для значений и отчетов в расчетах балок, рам и ферм.
Он рассчитывает характеристики сечения, но не выполняет проверки прочности и устойчивости: проверки стали по СП 16.13330 выполняют модули балок и рам, железобетон по СП 63.13330 платформа не проверяет. Не рассчитываются эффективное (редуцированное) сечение тонкостенных профилей, эпюра секториальной координаты, кривые взаимодействия N–M и сечение с трещинами; размер сетки МКЭ задается автоматически.
Сортамент, чертеж, DXF или DWG — и перед вами геометрические характеристики, кручение, карты напряжений и отчет. В браузере, без установки.
Открыть конструктор сечений
