Загрузка профиля

Расчет шарнирно-опертой двухопорной балки, построение эпюр

Условие задачи

Шарнирно-опертая двухопорная балка длиной 12 м: шарнирно-неподвижная опора A в точке x=0, шарнирно-подвижная опора B в точке x=12 м. Нагрузки: распределенная q1=6 кН/м на участке 0–4 м, наклонная сила P1=20 кН под углом 30° в точке x=8 м, сосредоточенный момент M1=42 кН*м в точке x=12 м (у опоры B).

  • распределенная: q1=6 кН/м — x = 0–4 м
  • сила: P1=20 кН — x = 8 м
  • момент: M1=42 кН*м — x = 12 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля
Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

01

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную шарнирно-опертую балку пролетом L = 12 м.

В точке A (x = 0 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 12 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложены следующие нагрузки:

— равномерно распределенная нагрузка q1 = 6 кН/м;

— наклонная сосредоточенная сила P1 = 20 кН;

— сосредоточенный момент M1 = 42 кН·м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— построение эпюры продольных сил N(x) методом сечений.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.
02

Результаты расчета

Параметр Значение Комментарий
Реакции опор
RA -26.83 кН вертикальная реакция, опора A (x = 0 м)
HA -17.32 кН горизонтальная реакция, опора A (x = 0 м)
RB -7.17 кН вертикальная реакция, опора B (x = 12 м)
Внутренние усилия
Qmax 7.17 кН при x = 8–12 м
Qmin -26.83 кН при x = 0 м
Mmax 0 кН·м при x = 0 м
Mmin -70.67 кН·м при x = 8 м
Nmax 17.32 кН при x = 0–8 м
Nmin 0 кН при x = 8–12 м
03

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣPix=0: HA + P1 × cos(30)=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
ΣMA=0: q1 × 4 × (4/2) + P1 × sin(30) × 8 + RB × 12 — M1=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
ΣMB=0: — RA × 12 — q1 × 4 × (12 — 4/2) — P1× sin(30) × 4 — M1=0
2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:
RB=( — q1 × 4 × (4/2) — P1 × sin(30) × 8 + M1) /12=( — 6 × 4 × (4/2) — 20 × 0.50008 + 42) /12=-7.17 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
RA=( — q1 × 4 × (12 — 4/2) — P1 × sin(30) × 4 — M1) /12=( — 6 × 4 × (12 — 4/2) — 20 × sin(30) × 4 — 42) /12=-26.83 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
HA= — P1 × cos(30)= — 20 × 0.8660=-17.32 (кН)
5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:
ΣPiy=0: — RA + q1 × 4 + P1 × sin(30) — RB= — 26.83 × 1 + 6 × 4 + 20 × 0.5000 — 7.17 × 1=0
04

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 4
Продольная сила N:
N(x1)=HA
Значения N на краях участка:
N1(0)=17.32=17.32 (кН)
N1(4)=17.32=17.32 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x1)= — RA + q1 × (x1 — 0)
Значения Q на краях участка:
Q1(0)= — 26.83 + 6 × (0 — 0)=-26.83 (кН)
Q1(4)= — 26.83 + 6 × (4 — 0)=-2.83 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x1)= — RA × (x1) + q1 × (x1)2/2
Значения M на краях участка:
M1(0)= — 26.83 × (0) + 6 × (0 — 0)2/2=0 (кН·м)
M1(4)= — 26.83 × (4) + 6 × (4 — 0)2/2=-59.33 (кН·м)
2.Рассмотрим второй участок 4 ≤ x2 < 8
Продольная сила N:
N(x2)=HA
Значения N на краях участка:
N2(4)=17.32=17.32 (кН)
N2(8)=17.32=17.32 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x2)= — RA + q1 × (4 — 0)
Значения Q на краях участка:
Q2(4)= — 26.83 + 6 × (4 — 0)=-2.83 (кН)
Q2(8)= — 26.83 + 6 × (4 — 0)=-2.83 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2)= — RA × (x2) + q1 × (4 — 0) × [(x2 — 4) + (4 — 0)/2]
Значения M на краях участка:
M2(4)= — 26.83 × (4) + 6 × 4 × (0 + 2)=-59.33 (кН·м)
M2(8)= — 26.83 × (8) + 6 × 4 × (4 + 2)=-70.67 (кН·м)
3.Рассмотрим третий участок 8 ≤ x3 < 12
Продольная сила N:
N(x3)=HA — P1 × cos(30)
Значения N на краях участка:
N3(8)=17.32 — 20 × 0.8660=0 (кН)
N3(12)=17.32 — 20 × 0.8660=0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x3)= — RA + q1 × (4 — 0) + P1 × sin(30)
Значения Q на краях участка:
Q3(8)= — 26.83 + 6 × (4 — 0) + 20 × 0.50=7.17 (кН)
Q3(12)= — 26.83 + 6 × (4 — 0) + 20 × 0.50=7.17 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3)= — RA × (x3) + q1 × (4 — 0) × [(x3 — 4) + (4 — 0)/2] + P1 × (x3 — 8) × sin(30)
Значения M на краях участка:
M3(8)= — 26.83 × (8) + 6 × 4 × (4 + 2) + 20 × (8 — 8) × 0.5000=-70.67 (кН·м)
M3(12)= — 26.83 × (12) + 6 × 4 × (8 + 2) + 20 × (12 — 8) × 0.5000=-42 (кН·м)

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 457 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 744 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки;
теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Обновлено 26 августа, 2026