Полный расчет балки на прочность и жесткость: эпюры, двутавр, прогиб

Условие задачи

Двухопорная балка с консолью общей длиной 3,6 м. Схема задана через параметр a = 0,6 м: участки a, 2a, 2a, a. Шарнирно-неподвижная опора B в сечении x = 0,6 м, шарнирно-подвижная опора K на правом конце x = 3,6 м, слева от опоры B — консоль вылетом 0,6 м. Нагрузки: сосредоточенная сила F = 2qa = 31,2 кН на конце консоли (x = 0, направлена вниз), сосредоточенный момент m = 4qa² = 37,44 кН*м в сечении x = 1,8 м, равномерно распределенная нагрузка q = 26 кН/м на участке от x = 3 м до правой опоры. Требуется определить опорные реакции, построить эпюры Q, M, прогибов y(x) и углов поворота θ(x), подобрать двутавр по ГОСТ 8239-89 из стали С245 и проверить балку на жесткость.

сила: F = 31,2 кН (2qa) — x = 0 м
момент: m = 37,44 кН*м (4qa²) — x = 1.8 м
распределенная: q = 26 кН/м — x = 3–3,6 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную балку с консольными свесами пролетом L = 3.6 м. Пролет между опорами составляет 3 м.

В точке A (x = 0.6 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 3.6 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложены следующие нагрузки:

— сосредоточенная вертикальная сила P₁ = 31.2 кН;

— сосредоточенный момент M₁ = 37.44 кН·м;

— равномерно распределенная нагрузка q₁ = 26 кН/м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— определение прогибов y(x) и углов поворота θ(x) поперечных сечений методом начальных параметров;

— численная проверка результатов методом трапеций (N = 400);

— подбор оптимального поперечного сечения балки.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.

Результаты расчета

Параметр	Значение	Комментарий
Реакции опор
R_A	26.52 кН	вертикальная реакция, опора A (x = 0.60 м)
R_B	20.28 кН	вертикальная реакция, опора B (x = 3.60 м)
Внутренние усилия
Q_max	-4.68 кН	при x = 0.60–3 м
Q_min	-31.20 кН	при x = 0–0.60 м
M_max	13.10 кН·м	при x = 1.80 м
M_min	-24.34 кН·м	при x = 1.80 м
Перемещения
w_max	-6.2326 мм	при x = 0 м
θ_max	0.0114 рад	при x = 0 м
Подбор сечения
Сечение	Двутавр 16	ГОСТ 8239-89 (Двутавры стальные горячекатанные. Сортамент)
A	20.23 см²
W_x	109.08 см³
I_x	872.64 см⁴
W_y	14.49 см³
I_y	58.67 см⁴
По нормальным напряжениям	223.14 МПа ≤ 245 МПа	Выполнено
По касательным напряжениям	44.54 МПа ≤ 141 МПа	Выполнено
По 3-й теории прочности	223.14 МПа ≤ 245 МПа	Выполнено
Результат	Сечение подобрано	Коэффициент использования: 0.911
Проверка прогиба
f_max	6,2 мм	пролет L = 3,0 м
[f]	10,0 мм	L/300 · СП 16.13330.2017 (СП 20.13330.2017, табл. Д.1)
Использование	62 %	Балки перекрытий (общий случай) · Полная (D+L)
Результат	Выполнено	f ≤ [f]: 6,2 ≤ 10,0 мм

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

ΣP_ix=0: H_A=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

ΣM_A=0: P₁ × 0.6 — M₁ — q₁ × 0.6 × (2.4 + 0.6/2) + R_B × 3=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:

ΣM_B=0: P₁ × 3.6 — R_A × 3 — M₁ + q₁ × 0.6 × (0.6 — 0.6/2)=0

2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:

R_B=( — P₁ × 0.6 + M₁ + q₁ × 0.6 × (2.4 + 0.6/2)) /3=( — 31.20 × 0.6 + 37.44 + 26 × 0.6 × (2.4 + 0.6/2)) /3=20.28 (кН)

3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

R_A=( P₁ × 3.6 — M₁ + q₁ × 0.6 × (0.6 — 0.6/2)) /3=( 31.20 × 3.6 — 37.44 + 26 × 0.6 × (0.6 — 0.6/2)) /3=26.52 (кН)

4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

H_A=0 (кН)

5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:

ΣP_iy=0: — P₁ + R_A — q₁ × 0.6 + R_B= — 31.20 + 26.52 × 1 — 26 × 0.6 + 20.28 × 1=0

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 0.6

Поперечная сила Q:

Q(x₁)= — P₁

Значения Q на краях участка:

Q₁(0)= — 31.20=-31.20 (кН)

Q₁(0.60)= — 31.20=-31.20 (кН)

Изгибающий момент M:

M(x₁)= — P₁ × (x₁)

Значения M на краях участка:

M₁(0)= — 31.20 × (0)=0 (кН·м)

M₁(0.60)= — 31.20 × (0.60)=-18.72 (кН·м)

2.Рассмотрим второй участок 0.6 ≤ x2 < 1.8

Поперечная сила Q:

Q(x₂)= — P₁ + R_A

Значения Q на краях участка:

Q₂(0.60)= — 31.20 + 26.52=-4.68 (кН)

Изгибающий момент M:

M(x₂)= — P₁ × (x₂) + R_A × (x₂ — 0.6)

Значения M на краях участка:

M₂(0.60)= — 31.20 × (0.60) + 26.52 × (0.60 — 0.6)=-18.72 (кН·м)

M₂(1.80)= — 31.20 × (1.80) + 26.52 × (1.80 — 0.6)=-24.34 (кН·м)

3.Рассмотрим третий участок 1.8 ≤ x3 < 3

Поперечная сила Q:

Q(x₃)= — P₁ + R_A

Значения Q на краях участка:

Q₃(1.80)= — 31.20 + 26.52=-4.68 (кН)

Q₃(3)= — 31.20 + 26.52=-4.68 (кН)

Изгибающий момент M:

M(x₃)= — P₁ × (x₃) + R_A × (x₃ — 0.6) + M₁

Значения M на краях участка:

M₃(1.80)= — 31.20 × (1.80) + 26.52 × (1.80 — 0.6) + 37.44=13.10 (кН·м)

M₃(3)= — 31.20 × (3) + 26.52 × (3 — 0.6) + 37.44=7.49 (кН·м)

4.Рассмотрим четвертый участок 3 ≤ x4 < 3.6

Поперечная сила Q:

Q(x₄)= — P₁ + R_A — q₁ × (x₄ — 3)

Значения Q на краях участка:

Q₄(3)= — 31.20 + 26.52 — 26 × (3 — 3)=-4.68 (кН)

Q₄(3.60)= — 31.20 + 26.52 — 26 × (3.6 — 3)=-20.28 (кН)

Изгибающий момент M:

M(x₄)= — P₁ × (x₄) + R_A × (x₄ — 0.6) + M₁ — q₁ × (x₄ — 3)²/2

Значения M на краях участка:

M₄(3)= — 31.20 × (3) + 26.52 × (3 — 0.6) + 37.44 — 26 × (3 — 3)²/2=7.49 (кН·м)

M₄(3.60)= — 31.20 × (3.60) + 26.52 × (3.60 — 0.6) + 37.44 — 26 × (3.60 — 3)²/2=0 (кН·м)

Определение прогибов и углов поворота

1.Для определения прогибов и углов поворота применяем метод начальных параметров (МНП). Жесткость балки EI = 1797.64 кН·м².

Дифференциальное уравнение упругой линии:

EI × y″(x)=−M(x)

Дважды интегрируя, получаем универсальное уравнение упругой линии:

EI × y(x)=EI × y₀ + EI × θ₀ × x − ∫∫M(x)dx²

2.Граничные условия и определение начальных параметров:

Из условий нулевого прогиба над опорами A и B определяем EIw₀ и EIθ₀:

Условие нулевого прогиба над опорой A:

EI × w(x_A)=EIw₀ + EIθ₀ × 0.6 — P₁ × (z-0)³/6=EIw₀ + EIθ₀ × 0.6 — 31.2 × (0.6−0)³/6=EIw₀ + 0.6 × EIθ₀ − 1.12=0

Условие нулевого прогиба над опорой B:

EI × w(x_B)=EIw₀ + EIθ₀ × 3.6 — P₁ × (z-0)³/6 + R_A × (z-0.6)³/6 + M₁ × (z-1.8)²/2 — q₁ × (z-3)⁴/24=EIw₀ + EIθ₀ × 3.6 — 31.2 × (3.6−0)³/6 + 26.52 × (3.6−0.6)³/6 + 37.44 × (3.6−1.8)²/2 — 26 × (3.6−3)⁴/24=EIw₀ + 3.6 × EIθ₀ − 62.76=0

⇒ EIθ₀=20.55 (кН·м²); EIw₀=-11.2 (кН·м³)

3.Построение эпюр углов поворота и прогибов по участкам:

Участок I 0 ≤ z ≤ 0.6

Угол поворота сечения θ:

EIθ^I(z)=EIθ₀ — P₁ × (z-0)²/2=20.55 — 31.2 × (z-0)²/2=— 15.6 × z² + 20.55;

Значения EIθ на краях отрезка:

EIθ^I(0)=— 15.6 × 0² + 20.55=20.55 (кН·м²);

EIθ^I(0.6)=— 15.6 × 0.6² + 20.55=14.93 (кН·м²);

Прогиб w:

EIw^I(z)=EIw₀ + EIθ₀ × z — P₁ × (z-0)³/6=-11.2 + 20.55 × z — 31.2 × (z-0)³/6=— 5.2 × z³ + 20.55 × z — 11.2;

Значения EIw на краях отрезка:

EIw^I(0)=— 5.2 × 0³ + 20.55 × 0 — 11.2=-11.2 (кН·м³);

EIw^I(0.6)=— 5.2 × 0.6³ + 20.55 × 0.6 — 11.2=0 (кН·м³);

Участок II 0.6 ≤ z ≤ 1.8

Угол поворота сечения θ:

EIθ^II(z)=EIθ₀ — P₁ × (z-0)²/2 + R_A × (z-0.6)²/2=20.55 — 31.2 × (z-0)²/2 + 26.52 × (z-0.6)²/2=— 2.34 × z² — 15.91 × z + 25.32;

Значения EIθ на краях отрезка:

EIθ^II(0.6)=— 2.34 × 0.6² — 15.91 × 0.6 + 25.32=14.93 (кН·м²);

EIθ^II(1.8)=— 2.34 × 1.8² — 15.91 × 1.8 + 25.32=-10.9 (кН·м²);

Прогиб w:

EIw^II(z)=EIw₀ + EIθ₀ × z — P₁ × (z-0)³/6 + R_A × (z-0.6)³/6=-11.2 + 20.55 × z — 31.2 × (z-0)³/6 + 26.52 × (z-0.6)³/6=— 0.78 × z³ — 7.96 × z² + 25.32 × z — 12.16;

Значения EIw на краях отрезка:

EIw^II(0.6)=— 0.78 × 0.6³ — 7.96 × 0.6² + 25.32 × 0.6 — 12.16=0 (кН·м³);

EIw^II(1.8)=— 0.78 × 1.8³ — 7.96 × 1.8² + 25.32 × 1.8 — 12.16=3.09 (кН·м³);

Локальный экстремум в точке z = 1.33:

EIw^II(1.33)=— 0.78 × 1.33³ — 7.96 × 1.33² + 25.32 × 1.33 — 12.16=5.61 (кН·м³);

Участок III 1.8 ≤ z ≤ 3

Угол поворота сечения θ:

EIθ^III(z)=EIθ₀ — P₁ × (z-0)²/2 + R_A × (z-0.6)²/2 + M₁ × (z-1.8)=20.55 — 31.2 × (z-0)²/2 + 26.52 × (z-0.6)²/2 + 37.44 × (z-1.8)=— 2.34 × z² + 21.53 × z — 42.07;

Значения EIθ на краях отрезка:

EIθ^III(1.8)=— 2.34 × 1.8² + 21.53 × 1.8 — 42.07=-10.9 (кН·м²);

EIθ^III(3)=— 2.34 × 3² + 21.53 × 3 — 42.07=1.45 (кН·м²);

Прогиб w:

EIw^III(z)=EIw₀ + EIθ₀ × z — P₁ × (z-0)³/6 + R_A × (z-0.6)³/6 + M₁ × (z-1.8)²/2=-11.2 + 20.55 × z — 31.2 × (z-0)³/6 + 26.52 × (z-0.6)³/6 + 37.44 × (z-1.8)²/2=— 0.78 × z³ + 10.76 × z² — 42.07 × z + 48.49;

Значения EIw на краях отрезка:

EIw^III(1.8)=— 0.78 × 1.8³ + 10.76 × 1.8² — 42.07 × 1.8 + 48.49=3.09 (кН·м³);

EIw^III(3)=— 0.78 × 3³ + 10.76 × 3² — 42.07 × 3 + 48.49=-1.91 (кН·м³);

Локальный экстремум в точке z = 2.82:

EIw^III(2.82)=— 0.78 × 2.82³ + 10.76 × 2.82² — 42.07 × 2.82 + 48.49=-2.04 (кН·м³);

Участок IV 3 ≤ z ≤ 3.6

Угол поворота сечения θ:

EIθ^IV(z)=EIθ₀ — P₁ × (z-0)²/2 + R_A × (z-0.6)²/2 + M₁ × (z-1.8) — q₁ × (z-3)³/6=20.55 — 31.2 × (z-0)²/2 + 26.52 × (z-0.6)²/2 + 37.44 × (z-1.8) — 26 × (z-3)³/6=— 4.33 × z³ + 36.66 × z² — 95.47 × z + 74.93;

Значения EIθ на краях отрезка:

EIθ^IV(3)=— 4.33 × 3³ + 36.66 × 3² — 95.47 × 3 + 74.93=1.45 (кН·м²);

EIθ^IV(3.6)=— 4.33 × 3.6³ + 36.66 × 3.6² — 95.47 × 3.6 + 74.93=4.17 (кН·м²);

Прогиб w:

EIw^IV(z)=EIw₀ + EIθ₀ × z — P₁ × (z-0)³/6 + R_A × (z-0.6)³/6 + M₁ × (z-1.8)²/2 — q₁ × (z-3)⁴/24=-11.2 + 20.55 × z — 31.2 × (z-0)³/6 + 26.52 × (z-0.6)³/6 + 37.44 × (z-1.8)²/2 — 26 × (z-3)⁴/24=— 1.08 × z⁴ + 12.22 × z³ — 47.74 × z² + 74.93 × z — 39.26;

Значения EIw на краях отрезка:

EIw^IV(3)=— 1.08 × 3⁴ + 12.22 × 3³ — 47.74 × 3² + 74.93 × 3 — 39.26=-1.91 (кН·м³);

EIw^IV(3.6)=— 1.08 × 3.6⁴ + 12.22 × 3.6³ — 47.74 × 3.6² + 74.93 × 3.6 — 39.26=0 (кН·м³);

4.Максимальный прогиб и угол поворота:

EIw_max = EI·w = EIw(0) = — 5.2 × 0³ + 20.55 × 0 — 11.2 = -11.2039 (кН·м³)

w_max = EIw_maxEI = -11.20391797.64 = -0.0062 (м) = -6.2326 (мм)

EIθ_max = EI·θ = EIθ(0) = — 15.6 × 0² + 20.55 = 20.5452 (кН·м²)

θ_max = EIθ_maxEI = 20.54521797.64 = 0.0114 (рад)

5.Проверка граничных условий:

Опора A: EIw^I(0.60) = — 5.2 × 0.6³ + 20.55 × 0.6 — 11.2 = 0 (кН·м³) ✓

Опора B: EIw^IV(3.60) = — 1.08 × 3.6⁴ + 12.22 × 3.6³ — 47.74 × 3.6² + 74.93 × 3.6 — 39.26 = 0 (кН·м³) ✓

6.Численная проверка (метод трапеций, N=400):

Для независимого контроля точности эпюры прогибов y(x) и углов поворота θ(x), построенные методом начальных параметров (аналитически), сверяются с результатами численного расчета — двойного интегрирования эпюры изгибающих моментов M(x) методом трапеций.

Δ — абсолютная погрешность численного метода: Δ = |аналитическое − численное| значение.

z, м	EIw аналит.	EIw числ.	Δ	EIθ аналит.	EIθ числ.	Δ
0	-11.2039	-11.1225	0.0814	20.5452	20.4379	0.1073
0.60	0	0.0168	0.0168	14.9292	14.8219	0.1073
1.33	5.6069	5.5456	0.0614	-0.0011	-0.1081	0.1070
1.80	3.0888	2.9781	0.1107	-10.9044	-10.8429	0.0615
2.16	0.0001	-0.0887	0.0887	-6.5325	-6.4711	0.0614
2.82	-2.0448	-2.0929	0.0482	-0.0004	0.0613	0.0616
3	-1.9094	-1.9463	0.0368	1.4508	1.5123	0.0615
3.60	0	0	0	4.1652	4.2268	0.0616

Максимальные отклонения: ΔEIw_max = 0.1107 ΔEIθ_max = 0.1073

Относительная погрешность: δ_w = 0.9882 % δ_θ = 0.5224 %

Вывод: результаты аналитического и численного методов согласуются (δ ≤ 5%) — эпюры построены корректно.

Проверка прогиба

Норматив: СП 16.13330.2017 — Балки перекрытий (общий случай) (Полная (D+L)), СП 20.13330.2017, табл. Д.1.

Расчетный пролет: L = 3,0 м.

Предельный прогиб: [f] = L/300 = 10,0 мм.

Фактический прогиб: f = 6,2 мм (из эпюры y(x)).

Условие: f ≤ [f] → Выполнено. Использование 62%.

Подбор сечения

Из эпюры изгибающих моментов М определяем, что M_max = 24.34 (кН × м). Выполним перевод единиц измерения максимального изгибающего момента в с систему СИ: M_max = 24.34 (кН × м) = 24340 (Н × м).

Из эпюры поперечных сил Q определяем, что Q_max = 31.2 (кН). Выполним перевод единиц измерения максимальной поперечной силы в с систему СИ: Q_max = 31.2 (кН) = 31200 (Н).

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям:

\(\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_x} \leq [\sigma]\)

где: М_max — наибольший изгибающий момент;

W_x — момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси Ox;

Заметим, что наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях балки возникают в наиболее удаленных точках от нейтральной оси Oх, которая проходит через центр тяжести сечения.

Из условия прочности по нормальным напряжениям вычислим значение минимального требуемого момента сопротивления сечения: \(W_{x} \geq \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{24340 (Н × м)}{[245 (МПа)]} = 99.347 (см^{3})\)

Дополнительно из условия жесткости (проверка прогиба) требуемый момент инерции: \(I_{x}^{тр} \geq 543.88 (см^{4})\)

Из сортамента выбираем ближайший больший номер сечения у которого: \(W_{x}^{таб} \geq W_{x}\)

Из сборника ГОСТ 8239-89 (Двутавры стальные горячекатанные. Сортамент) выбираем: Двутавр 16

Геометрические характеристики выбранного сечения:

Момент сопротивления относительно оси Ox: W_x = 109.08 (см³)

Высота сечения: h = 16 (см)

Ширина сечения: b = 8.1 (см)

Толщина стенки: t_s = 0.5 (см)

Средняя толщина полки: t_f = 0.78 (см)

Статический момент полусечения относительно оси Ox: S_x = 62.29 (см³)

Осевой момент инерции относительно оси Ox: I_x = 872.64 (см⁴)

1.Проверим прочность выбранного сечения (Двутавр 16) по нормальным напряжениям:

\(\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_{x}^{таб}} = \frac{24340(Н × м)}{109.08 × 10^{-6} (м^{3})} = 223.139 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

2.Определим, удовлетворяет ли принятое сечение балки (Двутавр 16) условию прочности по касательным напряжениям:

\(\tau_{max} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b × I_{x}} \leq [\tau]\)

где: \(Q_{max}\) — наибольшая поперечная сила;

\(S_{x}^{отс}\) — статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной оси Oх;

\(b\) — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки;

\(I_{x}\) — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси Ox;

\(\tau_{max} = \frac{Q_{max} × S_{x}}{b(y) × I_{x}} = \frac{31200(Н) × 62.29 × 10^{-6} (м^{3})}{0.5 × 10^{-2} (м) × 872.64 × 10^{-8} (м^{4})} = 44.542 (МПа) \leq 141 (МПа)\)

3.По теории наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) вычислим эквивалентные напряжения в рассматриваемых точках выбранного поперечного сечения, по формуле:

\(\sigma^{экв}_{i} = \sqrt{ \sigma^{2}_{i} + 4 × \tau^{2}_{i} } \leq [\sigma]\)

\(\sigma_{i} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × y_{i}\)

где y — расстояние от центра тяжести сечения до выбранной точки;

Касательные напряжения в i-ой точке вычислим по формуле:

\(\tau_{i} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}}\)

где \(S_{x}^{отс} = A^{отс} × y_{c}\) — статический момент отсеченной части сечения выше выбранной точки, относительно оси X;

\(y_{c}\) — координата центра тяжести отсеченной части сечения, относительно оси X;

Выберем для проверки 4 точки в поперечном сечении:

1 точка — с координатой y₁ = h/2, статический момент S_x(y = h/2) = 0;

2 точка — с координатой у₂ = h/2 – t;

3 точка — с координатой у₃ = h/2 – t; Статический момент такой же как и для второй точки;

4 точка — в центре сечения, с координатой у₄ = 0;

Для 1 точки \(y_{1} = \frac{h}{2}\):

\(\sigma_{1} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × \frac{h}{2} = \frac{24340(Н* м)}{872.64 × 10^{-8} (м^{4})} × \frac{16 (см)}{2} = 223.1 (МПа)\)

Статический момент отсеченной части \(S_{x} = 0\) т.к. \(A_{отс} = 0\)

\(\tau_{1} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31200(Н) × 0 (м^{3})}{0.081 (м) × 872.64 × 10^{-8} (м^{4})} = 0 (МПа)\)

Для 2 точки \(y_{2} = (\frac{h}{2} — t_{f})\):

\(\sigma_{2} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × (\frac{h}{2} — t_{f}) = \frac{24340(Н* м)}{872.64 × 10^{-8} (м^{4})} × (\frac{16 (см)}{2} — 0.78 (см)) = 201.4 (МПа)\)

\(y_{c} = (\frac{h}{2} — \frac{t_{f}}{2}) = (\frac{16 (см)}{2} — \frac{0.78 (см)}{2}) = 7.61 (см)\)

\(S_{x}^{отс} = 6.318 (см^{2}) × 7.61 (см) = 48.08 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{2} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31200(Н) × 48.08 × 10^{-6} (м^{3})}{0.081 (м) × 872.64 × 10^{-8} (м^{4})} = 2.1 (МПа)\)

Для 3 точки \(y_{3} = (\frac{h}{2} — t_{s})\):

\(\sigma_{3} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × (\frac{h}{2} — t_{s}) = \frac{24340(Н* м)}{872.64 × 10^{-8} (м^{4})} × (\frac{16 (см)}{2} — 0.78 (см)) = 201.4 (МПа)\)

\(y_{c} = (\frac{h}{2} — \frac{t_{f}}{2}) = (\frac{16 (см)}{2} — \frac{0.78 (см)}{2}) = 7.61 (см)\)

\(S_{x}^{отс} = 6.318 (см^{2}) × 7.61 (см) = 48.08 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{3} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31200(Н) × 48.08 × 10^{-6} (м^{3})}{0.5 × 10^{-2} (м) × 872.64 × 10^{-8} (м^{4})} = 34.4 (МПа)\)

Для 4 точки \(y_{4} = 0\):

\(\sigma_{4} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × 0 = \frac{24340(Н* м)}{872.64 × 10^{-8} (м^{4})} × 0 = 0 (МПа)\)

Статический момент \(S_{x}(y = 0)\) равен статическому моменту полусечения \(= 62.29 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{4} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31200(Н) × 62.29 × 10^{-6} (м^{3})}{0.5 × 10^{-2} (м) × 872.64 × 10^{-8} (м^{4})} = 44.5 (МПа)\)

По третьей теории прочности:

\(\sigma^{экв} = \sqrt{ \sigma^{2} + 4 × \tau^{2} } \leq [\sigma]\)

\(\sigma_{1}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{1}^{2} + 4 × \tau_{1}^{2} }\)\(= \sqrt{ 223.139^{2} + 4 × 0^{2} }\)\(= 223.1 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{2}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{2}^{2} + 4 × \tau_{2}^{2} }\)\(= \sqrt{ 201.383^{2} + 4 × 2.1^{2} }\)\(= 201.4 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{3}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{3}^{2} + 4 × \tau_{3}^{2} }\)\(= \sqrt{ 201.383^{2} + 4 × 34.4^{2} }\)\(= 212.8 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{4}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{4}^{2} + 4 × \tau_{4}^{2} }\)\(= \sqrt{ 0^{2} + 4 × 44.5^{2} }\)\(= 89.1 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

Условия проверок выполняются. Сечение подобрано правильно. Окончательно из ГОСТ 8239-89 (Двутавры стальные горячекатанные. Сортамент) выбираем: Двутавр 16

Размеры выбранного сечения:

Момент сопротивления относительно оси Ox: W_x = 109.08 (см³)

Высота сечения: h = 16 (см)

Ширина сечения: b = 8.1 (см)

Толщина стенки: t_s = 0.5 (см)

Средняя толщина полки: t_f = 0.78 (см)

Статический момент полусечения относительно оси Ox: S_x = 62.29 (см³)

Осевой момент инерции относительно оси Ox: I_x = 872.64 (см⁴)

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 686 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 1474 КБ

Повторить этот расчет

Ту же схему можно собрать в модуле: длина, опоры и нагрузки задают расчетную схему, сечение с материалом — жесткость EI, а норма предельного прогиба включает проверку жесткости с готовым вердиктом. Эпюры Q, M, y(x) и θ(x) строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки; теория перемещений и метод начальных параметров — в разделе основ сопротивления материалов.

Открыть модуль расчета балки

Расчеты

Служба поддержки

Заявка принята

Полный расчет балки на прочность и жесткость: эпюры, двутавр, прогиб

Условие задачи

Ход решения

Общие сведения

Результаты расчета

Определение опорных реакций

Построение эпюр

Определение прогибов и углов поворота

Проверка прогиба

Подбор сечения

Файлы отчетов

Повторить этот расчет