Расчет балки пешеходного моста: двутавр, все проверки, прогиб L/400

Условие задачи

Прокатные двутавровые балки пролетного строения при ремонте моста — Замена прокатных двутавровых балок пролетного строения при ремонте моста. Видно сечение балок и связи между нимиФото: Oregon Department of Transportation, Wikimedia Commons, CC BY 2.0

Пролетное строение пешеходного моста через реку — пара стальных прокатных двутавров пролетом L = 9 м под железобетонной плитой настила (на фото — замена таких балок при ремонте моста). Ширина прохода 1,5 м, грузовая полоса на одну балку — 0,75 м. Сбор нагрузок: постоянная от плиты настила 100 мм, покрытия и собственного веса балки — 3,5 кН/м (расчетная, γf = 1,1); временная от толпы 4,0 кПа (СП 20.13330) с γf = 1,2 на полосе 0,75 м — 3,6 кН/м; суммарная расчетная нагрузка на балку q = 7,1 кН/м. Требуется определить реакции, построить эпюры Q, M, прогибов y(x) и углов поворота θ(x), подобрать двутавр по ГОСТ 8239-89 из стали С245 с полным составом проверок и проверить жесткость: для пешеходных мостов предельный прогиб равен 1/400 пролета (СП 35.13330). Результат требуется продублировать независимым конечно-элементным расчетом.

распределенная: q = 7,1 кН/м (суммарная расчетная: постоянная 3,5 + толпа 3,6) — x = 0–9 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную шарнирно-опертую балку пролетом L = 9 м.

В точке A (x = 0 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 9 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложена равномерно распределенная нагрузка q₁ = 7.1 кН/м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— определение прогибов y(x) и углов поворота θ(x) поперечных сечений методом начальных параметров;

— численная проверка результатов методом трапеций (N = 400);

— подбор оптимального поперечного сечения балки.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.

Результаты расчета

Параметр	Значение	Комментарий
Реакции опор
R_A	31.95 кН	вертикальная реакция, опора A (x = 0 м)
R_B	31.95 кН	вертикальная реакция, опора B (x = 9 м)
Внутренние усилия
Q_max	31.95 кН	при x = 0 м
Q_min	-31.95 кН	при x = 9 м
M_max	71.89 кН·м	при x = 4.50 м
M_min	0 кН·м	при x = 0; 9 м
Перемещения
w_max	-22.0292 мм	при x = 4.50 м
θ_max	-0.0078 рад	при x = 0 м
Подбор сечения
Сечение	Двутавр 36	ГОСТ 8239-89 (Двутавры стальные горячекатанные. Сортамент)
A	61.81 см²
W_x	742.53 см³
I_x	13 366 см⁴
W_y	71.20 см³
I_y	516.21 см⁴
По нормальным напряжениям	96.82 МПа ≤ 245 МПа	Выполнено
По касательным напряжениям	13.48 МПа ≤ 141 МПа	Выполнено
По 3-й теории прочности	96.81 МПа ≤ 245 МПа	Выполнено
Результат	Сечение подобрано	Коэффициент использования: 0.979
Проверка прогиба
f_max	22,0 мм	пролет L = 9,0 м
[f]	22,5 мм	L/400 · задан вручную
Использование	98 %
Результат	Выполнено	f ≤ [f]: 22,0 ≤ 22,5 мм

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

ΣP_ix=0: H_A=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

ΣM_A=0: — q₁ × 9 × (9/2) + R_B × 9=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:

ΣM_B=0: — R_A × 9 + q₁ × 9 × (9 — 9/2)=0

2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:

R_B=( q₁ × 9 × (9/2)) /9=( 7.10 × 9 × (9/2)) /9=31.95 (кН)

3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

R_A=( q₁ × 9 × (9 — 9/2)) /9=( 7.10 × 9 × (9 — 9/2)) /9=31.95 (кН)

4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

H_A=0 (кН)

5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:

ΣP_iy=0: R_A — q₁ × 9 + R_B= 31.95 × 1 — 7.10 × 9 + 31.95 × 1=0

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 9

Поперечная сила Q:

Q(x₁)=R_A — q₁ × (x₁ — 0)

Значения Q на краях участка:

Q₁(0)=31.95 — 7.10 × (0 — 0)=31.95 (кН)

Q₁(9)=31.95 — 7.10 × (9 — 0)=-31.95 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 4.50

Изгибающий момент M:

M(x₁)=R_A × (x₁) — q₁ × (x₁)²/2

Значения M на краях участка:

M₁(0)=31.95 × (0) — 7.10 × (0 — 0)²/2=0 (кН·м)

M₁(9)=31.95 × (9) — 7.10 × (9 — 0)²/2=0 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 4.50:

M₁(4.50)=31.95 × (4.50) — 7.10 × (4.50 — 0)²/2=71.89 (кН·м)

Определение прогибов и углов поворота

1.Для определения прогибов и углов поворота применяем метод начальных параметров (МНП). Жесткость балки EI = 27533.96 кН·м².

Дифференциальное уравнение упругой линии:

EI × y″(x)=−M(x)

Дважды интегрируя, получаем универсальное уравнение упругой линии:

EI × y(x)=EI × y₀ + EI × θ₀ × x − ∫∫M(x)dx²

2.Граничные условия и определение начальных параметров:

Прогиб над левой опорой A равен нулю, откуда EIw₀ = 0.

Начальный угол поворота θ₀ определим из условия нулевого прогиба над опорой B:

EI × w(x_B)=EIw₀ + EIθ₀ × 9 + R_A × z³/6 — q₁ × (z-0)⁴/24=EIw₀ + EIθ₀ × 9 + 31.95 × 9³/6 — 7.1 × (9−0)⁴/24=EIw₀ + 9 × EIθ₀ + 1940.96=0

⇒ EIθ₀=-215.66 (кН·м²); EIw₀=0 (кН·м³)

3.Построение эпюр углов поворота и прогибов по участкам:

Участок I 0 ≤ z ≤ 9

Угол поворота сечения θ:

EIθ^I(z)=EIθ₀ + R_A × z²/2 — q₁ × (z-0)³/6=-215.66 + 31.95 × z²/2 — 7.1 × (z-0)³/6=— 1.18 × z³ + 15.98 × z² — 215.66;

Значения EIθ на краях отрезка:

EIθ^I(0)=— 1.18 × 0³ + 15.98 × 0² — 215.66=-215.66 (кН·м²);

EIθ^I(9)=— 1.18 × 9³ + 15.98 × 9² — 215.66=215.66 (кН·м²);

Прогиб w:

EIw^I(z)=EIθ₀ × z + R_A × z³/6 — q₁ × (z-0)⁴/24=-215.66 × z + 31.95 × z³/6 — 7.1 × (z-0)⁴/24=— 0.3 × z⁴ + 5.33 × z³ — 215.66 × z;

Значения EIw на краях отрезка:

EIw^I(0)=— 0.3 × 0⁴ + 5.33 × 0³ — 215.66 × 0=0 (кН·м³);

EIw^I(9)=— 0.3 × 9⁴ + 5.33 × 9³ — 215.66 × 9=0 (кН·м³);

Локальный экстремум в точке z = 4.5:

EIw^I(4.5)=— 0.3 × 4.5⁴ + 5.33 × 4.5³ — 215.66 × 4.5=-606.55 (кН·м³);

4.Максимальный прогиб и угол поворота:

EIw_max = EI·w = EIw(4.50) = — 0.3 × 4.5⁴ + 5.33 × 4.5³ — 215.66 × 4.5 = -606.5508 (кН·м³)

w_max = EIw_maxEI = -606.550827533.96 = -0.0220 (м) = -22.0292 (мм)

EIθ_max = EI·θ = EIθ(0) = — 1.18 × 0³ + 15.98 × 0² — 215.66 = -215.6625 (кН·м²)

θ_max = EIθ_maxEI = -215.662527533.96 = -0.0078 (рад)

5.Проверка граничных условий:

Опора A: EIw^I(0) = — 0.3 × 0⁴ + 5.33 × 0³ — 215.66 × 0 = 0 (кН·м³) ✓

Опора B: EIw^I(9) = — 0.3 × 9⁴ + 5.33 × 9³ — 215.66 × 9 = 0 (кН·м³) ✓

6.Численная проверка (метод трапеций, N=400):

Для независимого контроля точности эпюры прогибов y(x) и углов поворота θ(x), построенные методом начальных параметров (аналитически), сверяются с результатами численного расчета — двойного интегрирования эпюры изгибающих моментов M(x) методом трапеций.

Δ — абсолютная погрешность численного метода: Δ = |аналитическое − численное| значение.

z, м	EIw аналит.	EIw числ.	Δ	EIθ аналит.	EIθ числ.	Δ
0	0	0	0	-215.6625	-215.6622	0.0003
4.50	-606.5508	-606.5468	0.0040	0	0	0
9	0	0	0	215.6625	215.6622	0.0003

Максимальные отклонения: ΔEIw_max = 0.0040 ΔEIθ_max = 0.0003

Относительная погрешность: δ_w = 0.0007 % δ_θ = 0.0002 %

Вывод: результаты аналитического и численного методов согласуются (δ ≤ 5%) — эпюры построены корректно.

Проверка прогиба

Предельный прогиб задан вручную.

Расчетный пролет: L = 9,0 м.

Предельный прогиб: [f] = L/400 = 22,5 мм.

Фактический прогиб: f = 22,0 мм (из эпюры y(x)).

Условие: f ≤ [f] → Выполнено. Использование 98%.

Подбор сечения

Из эпюры изгибающих моментов М определяем, что M_max = 71.89 (кН × м). Выполним перевод единиц измерения максимального изгибающего момента в с систему СИ: M_max = 71.89 (кН × м) = 71890 (Н × м).

Из эпюры поперечных сил Q определяем, что Q_max = 31.95 (кН). Выполним перевод единиц измерения максимальной поперечной силы в с систему СИ: Q_max = 31.95 (кН) = 31950 (Н).

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям:

\(\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_x} \leq [\sigma]\)

где: М_max — наибольший изгибающий момент;

W_x — момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси Ox;

Заметим, что наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях балки возникают в наиболее удаленных точках от нейтральной оси Oх, которая проходит через центр тяжести сечения.

Из условия прочности по нормальным напряжениям вычислим значение минимального требуемого момента сопротивления сечения: \(W_{x} \geq \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{71890 (Н × м)}{[245 (МПа)]} = 293.429 (см^{3})\)

Дополнительно из условия жесткости (проверка прогиба) требуемый момент инерции: \(I_{x}^{тр} \geq 13086.32 (см^{4})\)

Из сортамента выбираем ближайший больший номер сечения у которого: \(W_{x}^{таб} \geq W_{x}\)

Из сборника ГОСТ 8239-89 (Двутавры стальные горячекатанные. Сортамент) выбираем: Двутавр 36

Геометрические характеристики выбранного сечения:

Момент сопротивления относительно оси Ox: W_x = 742.53 (см³)

Высота сечения: h = 36 (см)

Ширина сечения: b = 14.5 (см)

Толщина стенки: t_s = 0.75 (см)

Средняя толщина полки: t_f = 1.23 (см)

Статический момент полусечения относительно оси Ox: S_x = 422.97 (см³)

Осевой момент инерции относительно оси Ox: I_x = 13366 (см⁴)

1.Проверим прочность выбранного сечения (Двутавр 36) по нормальным напряжениям:

\(\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_{x}^{таб}} = \frac{71890(Н × м)}{742.53 × 10^{-6} (м^{3})} = 96.818 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

2.Определим, удовлетворяет ли принятое сечение балки (Двутавр 36) условию прочности по касательным напряжениям:

\(\tau_{max} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b × I_{x}} \leq [\tau]\)

где: \(Q_{max}\) — наибольшая поперечная сила;

\(S_{x}^{отс}\) — статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной оси Oх;

\(b\) — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки;

\(I_{x}\) — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси Ox;

\(\tau_{max} = \frac{Q_{max} × S_{x}}{b(y) × I_{x}} = \frac{31950(Н) × 422.97 × 10^{-6} (м^{3})}{0.75 × 10^{-2} (м) × 13366 × 10^{-8} (м^{4})} = 13.481 (МПа) \leq 141 (МПа)\)

3.По теории наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) вычислим эквивалентные напряжения в рассматриваемых точках выбранного поперечного сечения, по формуле:

\(\sigma^{экв}_{i} = \sqrt{ \sigma^{2}_{i} + 4 × \tau^{2}_{i} } \leq [\sigma]\)

\(\sigma_{i} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × y_{i}\)

где y — расстояние от центра тяжести сечения до выбранной точки;

Касательные напряжения в i-ой точке вычислим по формуле:

\(\tau_{i} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}}\)

где \(S_{x}^{отс} = A^{отс} × y_{c}\) — статический момент отсеченной части сечения выше выбранной точки, относительно оси X;

\(y_{c}\) — координата центра тяжести отсеченной части сечения, относительно оси X;

Выберем для проверки 4 точки в поперечном сечении:

1 точка — с координатой y₁ = h/2, статический момент S_x(y = h/2) = 0;

2 точка — с координатой у₂ = h/2 – t;

3 точка — с координатой у₃ = h/2 – t; Статический момент такой же как и для второй точки;

4 точка — в центре сечения, с координатой у₄ = 0;

Для 1 точки \(y_{1} = \frac{h}{2}\):

\(\sigma_{1} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × \frac{h}{2} = \frac{71890(Н* м)}{13366 × 10^{-8} (м^{4})} × \frac{36 (см)}{2} = 96.8 (МПа)\)

Статический момент отсеченной части \(S_{x} = 0\) т.к. \(A_{отс} = 0\)

\(\tau_{1} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31950(Н) × 0 (м^{3})}{0.145 (м) × 13366 × 10^{-8} (м^{4})} = 0 (МПа)\)

Для 2 точки \(y_{2} = (\frac{h}{2} — t_{f})\):

\(\sigma_{2} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × (\frac{h}{2} — t_{f}) = \frac{71890(Н* м)}{13366 × 10^{-8} (м^{4})} × (\frac{36 (см)}{2} — 1.23 (см)) = 90.2 (МПа)\)

\(y_{c} = (\frac{h}{2} — \frac{t_{f}}{2}) = (\frac{36 (см)}{2} — \frac{1.23 (см)}{2}) = 17.385 (см)\)

\(S_{x}^{отс} = 17.835 (см^{2}) × 17.385 (см) = 310.061 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{2} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31950(Н) × 310.061 × 10^{-6} (м^{3})}{0.145 (м) × 13366 × 10^{-8} (м^{4})} = 0.5 (МПа)\)

Для 3 точки \(y_{3} = (\frac{h}{2} — t_{s})\):

\(\sigma_{3} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × (\frac{h}{2} — t_{s}) = \frac{71890(Н* м)}{13366 × 10^{-8} (м^{4})} × (\frac{36 (см)}{2} — 1.23 (см)) = 90.2 (МПа)\)

\(y_{c} = (\frac{h}{2} — \frac{t_{f}}{2}) = (\frac{36 (см)}{2} — \frac{1.23 (см)}{2}) = 17.385 (см)\)

\(S_{x}^{отс} = 17.835 (см^{2}) × 17.385 (см) = 310.061 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{3} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31950(Н) × 310.061 × 10^{-6} (м^{3})}{0.75 × 10^{-2} (м) × 13366 × 10^{-8} (м^{4})} = 9.9 (МПа)\)

Для 4 точки \(y_{4} = 0\):

\(\sigma_{4} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × 0 = \frac{71890(Н* м)}{13366 × 10^{-8} (м^{4})} × 0 = 0 (МПа)\)

Статический момент \(S_{x}(y = 0)\) равен статическому моменту полусечения \(= 422.97 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{4} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} =\)\(\frac{31950(Н) × 422.97 × 10^{-6} (м^{3})}{0.75 × 10^{-2} (м) × 13366 × 10^{-8} (м^{4})} = 13.5 (МПа)\)

По третьей теории прочности:

\(\sigma^{экв} = \sqrt{ \sigma^{2} + 4 × \tau^{2} } \leq [\sigma]\)

\(\sigma_{1}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{1}^{2} + 4 × \tau_{1}^{2} }\)\(= \sqrt{ 96.814^{2} + 4 × 0^{2} }\)\(= 96.8 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{2}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{2}^{2} + 4 × \tau_{2}^{2} }\)\(= \sqrt{ 90.199^{2} + 4 × 0.5^{2} }\)\(= 90.2 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{3}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{3}^{2} + 4 × \tau_{3}^{2} }\)\(= \sqrt{ 90.199^{2} + 4 × 9.9^{2} }\)\(= 92.3 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{4}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{4}^{2} + 4 × \tau_{4}^{2} }\)\(= \sqrt{ 0^{2} + 4 × 13.5^{2} }\)\(= 27 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

Условия проверок выполняются. Сечение подобрано правильно. Окончательно из ГОСТ 8239-89 (Двутавры стальные горячекатанные. Сортамент) выбираем: Двутавр 36

Размеры выбранного сечения:

Момент сопротивления относительно оси Ox: W_x = 742.53 (см³)

Высота сечения: h = 36 (см)

Ширина сечения: b = 14.5 (см)

Толщина стенки: t_s = 0.75 (см)

Средняя толщина полки: t_f = 1.23 (см)

Статический момент полусечения относительно оси Ox: S_x = 422.97 (см³)

Осевой момент инерции относительно оси Ox: I_x = 13366 (см⁴)

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 970 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 1333 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки; теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Расчеты

Служба поддержки

Заявка принята