Загрузка профиля

Расчет шарнирно-опертой балки с консолью, построение эпюр

Условие задачи

Шарнирно-опертая балка длиной 10 м с консольными свесами: шарнирно-неподвижная опора A в точке x=3 м, шарнирно-подвижная опора B в точке x=10 м (пролет 7 м). Нагрузки: наклонная сила P1=5 кН под углом 45° в x=1 м, распределенная нагрузка q1=10 кН/м на участке x=1…4,5 м, сила P2=5 кН в x=7,5 м, момент M1=10 кН*м в x=9 м. Требуется определить опорные реакции и построить эпюры N, Q, M.

  • сила: P1 = 5 кН — x = 1 м
  • распределенная: q1 = 10 кН/м — x = от 1 до 4,5 (длина 3,5 м) м
  • сила: P2 = 5 кН — x = 7.5 м
  • момент: M1 = 10 кН*м — x = 9 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля
Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

01

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную балку с консольными свесами пролетом L = 10 м. Пролет между опорами составляет 7 м.

В точке A (x = 3 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 10 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложены следующие нагрузки:

— наклонная сосредоточенная сила P1 = 5 кН;

— равномерно распределенная нагрузка q1 = 10 кН/м;

— сосредоточенная вертикальная сила P2 = 5 кН;

— сосредоточенный момент M1 = 10 кН·м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— построение эпюры продольных сил N(x) методом сечений.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.
02

Результаты расчета

Параметр Значение Комментарий
Реакции опор
RA -34.92 кН вертикальная реакция, опора A (x = 3 м)
HA 3.54 кН горизонтальная реакция, опора A (x = 3 м)
RB -1.55 кН вертикальная реакция, опора B (x = 10 м)
Внутренние усилия
Qmax 16.46 кН при x = 3 м
Qmin -18.45 кН при x = 3 м
Mmax 12.93 кН·м при x = 3 м
Mmin -13.86 кН·м при x = 7.50 м
Nmax 3.54 кН при x = 1–3 м
Nmin 0 кН при x = 3–10 м
03

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣPix=0: — P1 × cos(45) + HA=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
ΣMA=0: P1× sin(45) × 2 — q1 × 3.5 × (2 — 3.5/2) + P2 × 4.5 — M1 + RB × 7=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
ΣMB=0: P1× sin(45) × 9 — q1 × 3.5 × (9 — 3.5/2) — RA × 7 — P2 × 2.5 — M1=0
2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:
RB=( — P1 × sin(45) × 2 + q1 × 3.5 × (2 — 3.5/2) — P2 × 4.5 + M1) /7=( — 5 × sin(45) × 2 + 10 × 3.5 × (2 — 3.5/2) — 5 × 4.5 + 10) /7=-1.55 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
RA=( P1 × sin(45) × 9 — q1 × 3.5 × (9 — 3.5/2) — P2 × 2.5 — M1) /7=( 5 × sin(45) × 9 — 10 × 3.5 × (9 — 3.5/2) — 5 × 2.5 — 10) /7=-34.92 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
HA= P1 × cos(45)= 5 × 0.7071=3.54 (кН)
5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:
ΣPiy=0: — P1 × sin(45) + q1 × 3.5 — RA + P2 — RB= — 5 × 0.7071 + 10 × 3.5 — 34.92 × 1 + 5 — 1.55 × 1=0
04

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 1

На данном участке нагрузок нет.

2.Рассмотрим второй участок 1 ≤ x2 < 3
Продольная сила N:
N(x2)=P1 × cos(45)
Значения N на краях участка:
N2(1)=5 × 0.7071=3.54 (кН)
N2(3)=5 × 0.7071=3.54 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x2)= — P1 × sin(45) + q1 × (x2 — 1)
Значения Q на краях участка:
Q2(1)= — 5 × 0.71 + 10 × (1 — 1)=-3.54 (кН)
Q2(3)= — 5 × 0.71 + 10 × (3 — 1)=16.46 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 0.35

Изгибающий момент M:
M(x2)= — P1 × (x2 — 1) × sin(45) + q1 × (x2 — 1)2/2
Значения M на краях участка:
M2(1)= — 5 × (1 — 1) × 0.7071 + 10 × (1 — 1)2/2=0 (кН·м)
M2(3)= — 5 × (3 — 1) × 0.7071 + 10 × (3 — 1)2/2=12.93 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 0.35:

M2(1.35)= — 5 × (1.35 — 1) × 0.7071 + 10 × (1.35 — 1)2/2=-0.63 (кН·м)
3.Рассмотрим третий участок 3 ≤ x3 < 4.5
Продольная сила N:
N(x3)=P1 × cos(45) — HA
Значения N на краях участка:
N3(3)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
N3(4.50)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x3)= — P1 × sin(45) + q1 × (x3 — 1) — RA
Значения Q на краях участка:
Q3(3)= — 5 × 0.71 + 10 × (3 — 1) — 34.92=-18.45 (кН)
Q3(4.50)= — 5 × 0.71 + 10 × (4.5 — 1) — 34.92=-3.45 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3)= — P1 × (x3 — 1) × sin(45) + q1 × (x3 — 1)2/2 — RA × (x3 — 3)
Значения M на краях участка:
M3(3)= — 5 × (3 — 1) × 0.7071 + 10 × (3 — 1)2/2 — 34.92 × (3 — 3)=12.93 (кН·м)
M3(4.50)= — 5 × (4.50 — 1) × 0.7071 + 10 × (4.50 — 1)2/2 — 34.92 × (4.50 — 3)=-3.50 (кН·м)
4.Рассмотрим четвертый участок 4.5 ≤ x4 < 7.5
Продольная сила N:
N(x4)=P1 × cos(45) — HA
Значения N на краях участка:
N4(4.50)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
N4(7.50)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x4)= — P1 × sin(45) + q1 × (4.5 — 1) — RA
Значения Q на краях участка:
Q4(4.50)= — 5 × 0.71 + 10 × (4.5 — 1) — 34.92=-3.45 (кН)
Q4(7.50)= — 5 × 0.71 + 10 × (4.5 — 1) — 34.92=-3.45 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x4)= — P1 × (x4 — 1) × sin(45) + q1 × (4.5 — 1) × [(x4 — 4.50) + (4.50 — 1)/2] — RA × (x4 — 3)
Значения M на краях участка:
M4(4.50)= — 5 × (4.50 — 1) × 0.7071 + 10 × 3.5 × (0 + 1.75) — 34.92 × (4.50 — 3)=-3.50 (кН·м)
M4(7.50)= — 5 × (7.50 — 1) × 0.7071 + 10 × 3.5 × (3 + 1.75) — 34.92 × (7.50 — 3)=-13.86 (кН·м)
5.Рассмотрим 5-й участок 7.5 ≤ x5 < 9
Продольная сила N:
N(x5)=P1 × cos(45) — HA
Значения N на краях участка:
N5(7.50)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
N5(9)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x5)= — P1 × sin(45) + q1 × (4.5 — 1) — RA + P2
Значения Q на краях участка:
Q5(7.50)= — 5 × 0.71 + 10 × (4.5 — 1) — 34.92 + 5=1.55 (кН)
Q5(9)= — 5 × 0.71 + 10 × (4.5 — 1) — 34.92 + 5=1.55 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x5)= — P1 × (x5 — 1) × sin(45) + q1 × (4.5 — 1) × [(x5 — 4.50) + (4.50 — 1)/2] — RA × (x5 — 3) + P2 × (x5 — 7.5)
Значения M на краях участка:
M5(7.50)= — 5 × (7.50 — 1) × 0.7071 + 10 × 3.5 × (3 + 1.75) — 34.92 × (7.50 — 3) + 5 × (7.50 — 7.5)=-13.86 (кН·м)
M5(9)= — 5 × (9 — 1) × 0.7071 + 10 × 3.5 × (4.50 + 1.75) — 34.92 × (9 — 3) + 5 × (9 — 7.5)=-11.55 (кН·м)
6.Рассмотрим 6-й участок 9 ≤ x6 < 10
Продольная сила N:
N(x6)=P1 × cos(45) — HA
Значения N на краях участка:
N6(9)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
N6(10)=5 × 0.7071 — 3.54=0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x6)= — P1 × sin(45) + q1 × (4.5 — 1) — RA + P2
Значения Q на краях участка:
Q6(9)= — 5 × 0.71 + 10 × (4.5 — 1) — 34.92 + 5=1.55 (кН)
Q6(10)= — 5 × 0.71 + 10 × (4.5 — 1) — 34.92 + 5=1.55 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x6)= — P1 × (x6 — 1) × sin(45) + q1 × (4.5 — 1) × [(x6 — 4.50) + (4.50 — 1)/2] — RA × (x6 — 3) + P2 × (x6 — 7.5) + M1
Значения M на краях участка:
M6(9)= — 5 × (9 — 1) × 0.7071 + 10 × 3.5 × (4.50 + 1.75) — 34.92 × (9 — 3) + 5 × (9 — 7.5) + 10=-1.55 (кН·м)
M6(10)= — 5 × (10 — 1) × 0.7071 + 10 × 3.5 × (5.50 + 1.75) — 34.92 × (10 — 3) + 5 × (10 — 7.5) + 10=0 (кН·м)

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 433 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 955 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки;
теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Обновлено 26 августа, 2026