Загрузка профиля

Расчет консольной балки (жесткая заделка справа), построение эпюр

Условие задачи

Консольная балка длиной 9 м с жесткой заделкой на правом конце (точка A, x=9 м). На свободном левом конце (x=0) приложен сосредоточенный момент M1=30 кН*м; на участке 3–7 м действует треугольная распределенная нагрузка с максимумом U1=20 кН/м слева (у x=3) и нулем у x=7, направленная вниз; в точке x=5 м приложена сосредоточенная сила P1=40 кН вверх.

  • момент: M1=30 кН*м — x = 0 м
  • треугольная: U1=20 кН/м (максимум слева) — x = 3–7 (длина 4 м, максимум у x=3, ноль у x=7) м
  • сила: P1=40 кН — x = 5 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля
Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

01

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую консольную балку, закрепленную жесткой заделкой на правом конце пролетом L = 9 м.

В точке A (x = 9 м) установлена жесткая заделка, воспринимающая продольную и поперечную силы, а также реактивный момент.

К балке приложены следующие нагрузки:

— сосредоточенный момент M1 = 30 кН·м;

— треугольная распределенная нагрузка U1 = 0÷20 кН/м;

— сосредоточенная вертикальная сила P1 = 40 кН.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.
02

Результаты расчета

Параметр Значение Комментарий
Реакции опор
RA 0 кН вертикальная реакция, опора A (x = 9 м)
MA 56.67 кН·м реактивный момент, опора A (x = 9 м)
Внутренние усилия
Qmax 30 кН при x = 5 м
Qmin -10 кН при x = 5 м
Mmax 63.33 кН·м при x = 5 м
Mmin 30 кН·м при x = 0–3 м
03

Определение опорных реакций

Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

1.На балку наложена связь в точке A (справа) типа жесткая заделка, поэтому освобождаем балку, заменив действие связи реакциями (HA, RA, MA).
2.Определим реакции опор в соответствии с уравнениями равновесия балки: ΣPix = 0, ΣPiy = 0, ΣMA(P) = 0.
ΣPix=0: HA=0
ΣPiy=0: (U1слева × 4)/2 — P1 + RA=0,
ΣMA=0: — M1 — (U1слева × 4/2) × (9 — 7 + (2/3) × 4) + 4 × P1 + MA=0;
3.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
HA=0 (кН)
RA= — (U1слева × 4)/2 + P1= — (20 × 4)/2 + 40=0 (кН)
MA= M1 + (U1слева × 4/2) × (9 — 7 + (2/3) × 4) — 4 × P1= + 30 + (U1слева × 4/2) × (9 — 7 + (2/3) × 4) — 4 × 40=56.67 (кН·м)
4.Выполним проверку, составив дополнительное моментное уравнение относительно свободного конца балки:

— M1 + (U1слева × 4/2) × (7 — (2/3) × 4) — 5 × P1 + 9 × RA + MA = — 30.00 + (U1слева × 4/2) × (7 — (2/3) × 4) — 5 × 40 + 9 × 0.00 + 56.67 = 0

04

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 3
Поперечная сила Q:
Q(x1)=0
Значения Q на краях участка:
Q1(0)=0 (кН)
Q1(3)=0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x1)=M1
Значения M на краях участка:
M1(0)=30=30 (кН·м)
M1(3)=30=30 (кН·м)
2.Рассмотрим второй участок 3 ≤ x2 < 5
Поперечная сила Q:
Q(x2)= + ([(U1слева — U1слева × (7 — x)/4) × (x — 3)]/2 + U1слева × (7 — x)/4 × (x — 3))
Значения Q на краях участка:
Q2(3)= + ([(20 — 20 × (7 — 3)/4) × (3 — 3)]/2 + 20 × (7 — 3)/4 × (3 — 3))=0 (кН)
Q2(5)= + ([(20 — 20 × (7 — 5)/4) × (5 — 3)]/2 + 20 × (7 — 5)/4 × (5 — 3))=30 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2)=M1 — ([(U1слева — U1слева × (7 — x)/4) × (x — 3)]/2 × (x — 3) × (2/3) + U1слева × (7 — x)/4 × (x — 3) × (x — 3) × (1/2))
Значения M на краях участка:
M2(3)=30 + ([(20 — 20 × (7 — 3)/4) × (3 — 3)]/2 × (3 — 3) × (2/3) + 20 × (7 — 3)/4 × (3 — 3) × (3 — 3) × (1/2))=30 (кН·м)
M2(5)=30 — ([(20 — 20 × (7 — 5)/4) × (5 — 3)]/2 × (5 — 3) × (2/3) + 20 × (7 — 5)/4 × (5 — 3) × (5 — 3) × (1/2))=63.33 (кН·м)
3.Рассмотрим третий участок 5 ≤ x3 < 7
Поперечная сила Q:
Q(x3)= + ([(U1слева — U1слева × (7 — x)/4) × (x — 3)]/2 + U1слева × (7 — x)/4 × (x — 3)) — P1
Значения Q на краях участка:
Q3(5)= + ([(20 — 20 × (7 — 5)/4) × (5 — 3)]/2 + 20 × (7 — 5)/4 × (5 — 3)) — 40=-10 (кН)
Q3(7)= + ([(20 — 20 × (7 — 7)/4) × (7 — 3)]/2 + 20 × (7 — 7)/4 × (7 — 3)) — 40=0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3)=M1 — ([(U1слева — U1слева × (7 — x)/4) × (x — 3)]/2 × (x — 3) × (2/3) + U1слева × (7 — x)/4 × (x — 3) × (x — 3) × (1/2)) — P1 × (x3 — 5)
Значения M на краях участка:
M3(5)=30 — ([(20 — 20 × (7 — 5)/4) × (5 — 3)]/2 × (5 — 3) × (2/3) + 20 × (7 — 5)/4 × (5 — 3) × (5 — 3) × (1/2)) — 40 × (5 — 5)=63.33 (кН·м)
M3(7)=30 — ([(20 — 20 × (7 — 7)/4) × (7 — 3)]/2 × (7 — 3) × (2/3) + 20 × (7 — 7)/4 × (7 — 3) × (7 — 3) × (1/2)) — 40 × (7 — 5)=56.67 (кН·м)
4.Рассмотрим четвертый участок 7 ≤ x4 < 9
Поперечная сила Q:
Q(x4)= + (U1слева × 4)/2 — P1
Значения Q на краях участка:
Q4(7)= + ([(20 — 20 × (7 — 7)/4) × (7 — 3)]/2 + 20 × (7 — 7)/4 × (7 — 3)) — 40=0 (кН)
Q4(9)= + (20 × 4)/2 — 40=0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x4)=M1 — (U1слева × 4)/2 × (x — 7 + (2/3) × 4) — P1 × (x4 — 5)
Значения M на краях участка:
M4(7)=30 — ([(20 — 20 × (7 — 7)/4) × (7 — 3)]/2 × (7 — 3) × (2/3) + 20 × (7 — 7)/4 × (7 — 3) × (7 — 3) × (1/2)) — 40 × (7 — 5)=56.67 (кН·м)
M4(9)=30 — (20 × 4)/2 × (9 — 7 + (2/3) × 4) — 40 × (9 — 5)=56.67 (кН·м)

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 303 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 707 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки;
теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Обновлено 26 августа, 2026