Загрузка профиля

Построение эпюр шарнирно-опертой балки с трапециевидной нагрузкой

Условие задачи

Шарнирно-опертая балка длиной 4 м с левой консолью: шарнирно-неподвижная опора A на x=0.5 м, шарнирно-подвижная опора B на x=3.5 м (пролет 3.5 м). Нагрузки: сосредоточенная сила P1=1 кН на левом конце (x=0), распределенная нагрузка q1=10 кН/м на участке 0–2 м, сосредоточенный момент M1=3.5 кН*м в точке x=2, трапециевидная нагрузка 10–25 кН/м на участке 2.5–3.5 м.

  • сила: P1=1 кН — x = 0 м
  • распределенная: q1=10 кН/м — x = 0–2 м
  • момент: M1=3.5 кН*м — x = 2 м
  • трапециевидная: U1: слева 10 кН/м, справа 25 кН/м — x = 2.5–3.5 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля
Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

01

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную балку с консольными свесами пролетом L = 4 м. Пролет между опорами составляет 3 м.

В точке A (x = 0.5 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 3.5 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложены следующие нагрузки:

— сосредоточенная вертикальная сила P1 = 1 кН;

— равномерно распределенная нагрузка q1 = 10 кН/м;

— сосредоточенный момент M1 = 3.5 кН·м;

— трапециевидная распределенная нагрузка U1 = 10÷25 кН/м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.
02

Результаты расчета

Параметр Значение Комментарий
Реакции опор
RA -19.17 кН вертикальная реакция, опора A (x = 0.50 м)
RB -17.33 кН вертикальная реакция, опора B (x = 3.50 м)
Внутренние усилия
Qmax 17.33 кН при x = 3.50 м
Qmin -15.17 кН при x = 0.50 м
Mmax 0.75 кН·м при x = 0.50 м
Mmin -10.75 кН·м при x = 2 м
03

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣPix=0: HA=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
ΣMA=0: P1 × 0.5 + q1 × 2 × (-0.5 + 2/2) — M1 + ((U1справа — U1слева ) × 1)/2 × (3.5 — 0.50 — (1/3) × 1) + U1слева × 1 × (3.5 — 0.50 — (1/2) × (1) + RB × 3=0
Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
ΣMB=0: P1 × 3.5 — q1 × 2 × (3.5 — 2/2) — RA × 3 — M1 + ((U1справа — U1слева ) × 1)/2 × (3.50 — (2.5 + 2/3 × 1)) + U1слева × 1 × (3.50 — (2.5 + (1/2) × (1))=0
2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:
RB=( — P1 × 0.5 — q1 × 2 × (-0.5 + 2/2) + M1 — ((U1справа — U1слева ) × 1)/2 × (3.5 — 0.50 — (1/3) × 1) — U1слева × 1 × (3.5 — 0.50 — (1/2) × (1)) /3=( — 1 × 0.5 — 10 × 2 × (-0.5 + 2/2) + 3.50 — 7.50 × 2.67 — 10 × 2.50) /3=-17.33 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
RA=( P1 × 3.5 — q1 × 2 × (3.5 — 2/2) — M1 — ((U1справа — U1слева ) × 1)/2 × (3.50 — (2.5 + 2/3 × 1)) — U1слева × 1 × (3.50 — (2.5 + (1/2) × (1))) /3=( 1 × 3.5 — 10 × 2 × (3.5 — 2/2) — 3.50 — 7.50 × 0.33 — 10 × 0.50) /3=-19.17 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.
4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
HA=0 (кН)
5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:
ΣPiy=0: — P1 + q1 × 2 — RA + ((U1справа — U1слева ) × 1)/2 + U1слева × 1 — RB= — 1 + 10 × 2 — 19.17 × 1 + ((25 — 10) × 1)/2 + 10 × 1 — 17.33 × 1=0
04

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 0.5
Поперечная сила Q:
Q(x1)= — P1 + q1 × (x1 — 0)
Значения Q на краях участка:
Q1(0)= — 1 + 10 × (0 — 0)=-1 (кН)
Q1(0.50)= — 1 + 10 × (0.5 — 0)=4 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 0.10

Изгибающий момент M:
M(x1)= — P1 × (x1) + q1 × (x1)2/2
Значения M на краях участка:
M1(0)= — 1 × (0) + 10 × (0 — 0)2/2=0 (кН·м)
M1(0.50)= — 1 × (0.50) + 10 × (0.50 — 0)2/2=0.75 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 0.10:

M1(0.10)= — 1 × (0.10) + 10 × (0.10 — 0)2/2=-0.05 (кН·м)
2.Рассмотрим второй участок 0.5 ≤ x2 < 2
Поперечная сила Q:
Q(x2)= — P1 + q1 × (x2 — 0) — RA
Значения Q на краях участка:
Q2(0.50)= — 1 + 10 × (0.5 — 0) — 19.17=-15.17 (кН)
Q2(2)= — 1 + 10 × (2 — 0) — 19.17=-0.17 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x2)= — P1 × (x2) + q1 × (x2)2/2 — RA × (x2 — 0.5)
Значения M на краях участка:
M2(0.50)= — 1 × (0.50) + 10 × (0.50 — 0)2/2 — 19.17 × (0.50 — 0.5)=0.75 (кН·м)
M2(2)= — 1 × (2) + 10 × (2 — 0)2/2 — 19.17 × (2 — 0.5)=-10.75 (кН·м)
3.Рассмотрим третий участок 2 ≤ x3 < 2.5
Поперечная сила Q:
Q(x3)= — P1 + q1 × (2 — 0) — RA
Значения Q на краях участка:
Q3(2)= — 1 + 10 × (2 — 0) — 19.17=-0.17 (кН)
Q3(2.50)= — 1 + 10 × (2 — 0) — 19.17=-0.17 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x3)= — P1 × (x3) + q1 × (2 — 0) × [(x3 — 2) + (2 — 0)/2] — RA × (x3 — 0.5) + M1
Значения M на краях участка:
M3(2)= — 1 × (2) + 10 × 2 × (0 + 1) — 19.17 × (2 — 0.5) + 3.50=-7.25 (кН·м)
M3(2.50)= — 1 × (2.50) + 10 × 2 × (0.50 + 1) — 19.17 × (2.50 — 0.5) + 3.50=-7.33 (кН·м)
4.Рассмотрим четвертый участок 2.5 ≤ x4 < 3.5
Поперечная сила Q:
Q(x4)= — P1 + q1 × (2 — 0) — RA + ([((U1справа — U1слева ) × (x — 2.5)/1 + U1слева — U1слева ) × (x — 2.5)]/2 + U1слева × (x — 2.5))
Значения Q на краях участка:
Q4(2.50)= — 1 + 10 × (2 — 0) — 19.17 + ([((25 — 10) × (2.50 — 2.5)/1 + 10 — 10) × (2.50 — 2.5)]/2 + 10 × (2.50 — 2.5))=-0.17 (кН)
Q4(3.50)= — 1 + 10 × (2 — 0) — 19.17 + ([((25 — 10) × (3.50 — 2.5)/1 + 10 — 10) × (3.50 — 2.5)]/2 + 10 × (3.50 — 2.5))=17.33 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 0.02

Изгибающий момент M:
M(x4)= — P1 × (x4) + q1 × (2 — 0) × [(x4 — 2) + (2 — 0)/2] — RA × (x4 — 0.5) + M1 + ([((U1справа — U1слева ) × (x — 2.5)/1 + U1слева — U1слева ) × (x — 2.5)]/2 × (x — 2.5) × (2/3) + U1слева × (x — 2.5) × (x — 2.5) × (1/2))
Значения M на краях участка:
M4(2.50)= — 1 × (2.50) + 10 × 2 × (0.50 + 1) — 19.17 × (2.50 — 0.5) + 3.50 + ([((25 — 10) × (2.50 — 2.5)/1 + 10 — 10) × (2.50 — 2.5)]/2 × (2.50 — 2.5) × (1/3) + 10 × (2.50 — 2.5) × (2.50 — 2.5) × (1/2))=-7.33 (кН·м)
M4(3.50)= — 1 × (3.50) + 10 × 2 × (1.50 + 1) — 19.17 × (3.50 — 0.5) + 3.50 + ([((25 — 10) × (3.50 — 2.5)/1 + 10 — 10) × (3.50 — 2.5)]/2 × (3.50 — 2.5) × (1/3) + 10 × (3.50 — 2.5) × (3.50 — 2.5) × (1/2))=0 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 0.02:

M4(2.52)= — 1 × (2.52) + 10 × 2 × (0.52 + 1) — 19.17 × (2.52 — 0.5) + 3.50 + ([((25 — 10) × (2.52 — 2.5)/1 + 10 — 10) × (2.52 — 2.5)]/2 × (2.52 — 2.5) × (1/3) + 10 × (2.52 — 2.5) × (2.52 — 2.5) × (1/2))=-7.33 (кН·м)
5.Рассмотрим 5-й участок 3.5 ≤ x5 < 4
Поперечная сила Q:
Q(x5)= — P1 + q1 × (2 — 0) — RA + ((U1справа — U1слева ) × 1/2 + (U1слева × 1)) — RB
Значения Q на краях участка:
Q5(3.50)= — 1 + 10 × (2 — 0) — 19.17 + ([((25 — 10) × (3.50 — 2.5)/1 + 10 — 10) × (3.50 — 2.5)]/2 + 10 × (3.50 — 2.5)) — 17.33=0 (кН)
Q5(4)= — 1 + 10 × (2 — 0) — 19.17 + ((25 — 10) × 1/2 + (10 × 1)) — 17.33=0 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x5)= — P1 × (x5) + q1 × (2 — 0) × [(x5 — 2) + (2 — 0)/2] — RA × (x5 — 0.5) + M1 + ((U1справа — U1слева ) × 1/2 × [x — (2.5 + 1 × 2/3)] + (U1слева × 1) × [x — (2.5 + 1 × (1/2))]) — RB × (x5 — 3.5)
Значения M на краях участка:
M5(3.50)= — 1 × (3.50) + 10 × 2 × (1.50 + 1) — 19.17 × (3.50 — 0.5) + 3.50 + ([((25 — 10) × (3.50 — 2.5)/1 + 10 — 10) × (3.50 — 2.5)]/2 × (3.50 — 2.5) × (1/3) + 10 × (3.50 — 2.5) × (3.50 — 2.5) × (1/2)) — 17.33 × (3.50 — 3.5)=0 (кН·м)
M5(4)= — 1 × (4) + 10 × 2 × (2 + 1) — 19.17 × (4 — 0.5) + 3.50 + ((25 — 10) × 1/2 × [4 — (2.5 + 1 × 2/3)] + (10 × 1) × [4 — (2.5 + 1 × (1/2))]) — 17.33 × (4 — 3.5)=0 (кН·м)

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 398 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 826 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки;
теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Обновлено 26 августа, 2026