Построение эпюр бесплатно. Шарнирно-опертая балка с треугольной нагрузкой

Условие задачи

Шарнирно-опертая балка длиной 3 м: шарнирно-неподвижная опора A в точке x=0, шарнирно-подвижная опора B в точке x=3 м. На левой половине (0–1.5 м) приложена треугольная нагрузка интенсивностью до 5 кН/м (нарастает вправо, направлена вниз), на правой половине (1.5–3 м) — треугольная нагрузка до 5 кН/м (убывает вправо, направлена вверх, противоположно первой).

треугольная: 5 кН/м (максимум у x=1.5) — x = 0–1.5 м
треугольная: 5 кН/м (максимум у x=1.5) — x = 1.5–3 м

Эпюры Q и M: экспорт из модуля

Ход решения

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную шарнирно-опертую балку пролетом L = 3 м.

В точке A (x = 0 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы; В точке B (x = 3 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу.

К балке приложены следующие нагрузки:

— треугольные распределенные нагрузки U₁ = 0÷5 кН/м, U₂ = 0÷5 кН/м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.

Результаты расчета

Параметр	Значение	Комментарий
Реакции опор
R_A	-1.25 кН	вертикальная реакция, опора A (x = 0 м)
R_B	1.25 кН	вертикальная реакция, опора B (x = 3 м)
Внутренние усилия
Q_max	2.50 кН	при x = 1.50 м
Q_min	-1.25 кН	при x = 0; 3 м
M_max	0.72 кН·м	при x = 2.10 м
M_min	-0.72 кН·м	при x = 0.90 м

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

ΣP_ix=0: H_A=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

ΣM_A=0: (U₁^справа × 1.5/2) × (1.5 — (1/3) × 1.5) — (U₂^слева × 1.5/2) × (3 — (2/3) × 1.5) + R_B × 3=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:

ΣM_B=0: — R_A × 3 — (U₁^справа × 1.5/2) × (3 — 1.5 + (1/3) × 1.5) + (U₂^слева × 1.5/2) × (3 — 3 + (2/3) × 1.5)=0

2.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:

R_B=( — (U₁^справа × 1.5/2) × (1.5 — (1/3) × 1.5) + (U₂^слева × 1.5/2) × (3 — (2/3) × 1.5)) /3=( — 3.75 × 1 + 3.75 × 2) /3=1.25 (кН)

3.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:

R_A=( — (U₁^справа × 1.5/2) × (3 — 1.5 + (1/3) × 1.5) + (U₂^слева × 1.5/2) × (3 — 3 + (2/3) × 1.5)) /3=( — 3.75 × 2 + 3.75 × 1) /3=-1.25 (кН), так как реакция отрицательна, на расчетной схеме направим ее в противоположную сторону.

4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

H_A=0 (кН)

5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:

ΣP_iy=0: — R_A + (U₁^справа × 1.5)/2 — (U₂^слева × 1.5)/2 + R_B= — 1.25 × 1 + (5 × 1.5)/2 — (5 × 1.5)/2 + 1.25 × 1=0

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 1.5

Поперечная сила Q:

Q(x₁)= — R_A + (U₁^справа × (x — 0)/1.5 × (x — 0))/2

Значения Q на краях участка:

Q₁(0)= — 1.25 + (5 × (0 — 0)/1.5 × (0 — 0))/2=-1.25 (кН)

Q₁(1.50)= — 1.25 + (5 × (1.5 — 0)/1.5 × (1.50 — 0))/2=2.50 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 0.87

Изгибающий момент M:

M(x₁)= — R_A × (x₁) — (U₁^справа × (x — 0)/1.5 × (x — 0))/2 × (x — 0) × (1/3)

Значения M на краях участка:

M₁(0)= — 1.25 × (0) + (5 × (0 — 0)/1.5 × (0 — 0))/2 × (0 — 0) × (1/3)=0 (кН·м)

M₁(1.50)= — 1.25 × (1.50) — (5 × (1.5 — 0)/1.5 × (1.50 — 0))/2 × (1.50 — 0) × (1/3)=0 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 0.87:

M₁(0.87)= — 1.25 × (0.87) + (5 × (0.86625 — 0)/1.5 × (0.87 — 0))/2 × (0.87 — 0) × (1/3)=-0.72 (кН·м)

2.Рассмотрим второй участок 1.5 ≤ x2 < 3

Поперечная сила Q:

Q(x₂)= — R_A + (U₁^справа × 1.5)/2 — ([(U₂^слева — U₂^слева × (3 — x)/1.5) × (x — 1.5)]/2 + U₂^слева × (3 — x)/1.5 × (x — 1.5))

Значения Q на краях участка:

Q₂(1.50)= — 1.25 + (5 × (1.5 — 0)/1.5 × (1.50 — 0))/2 — ([(5 — 5 × (3 — 1.5)/1.5) × (1.5 — 1.5)]/2 + 5 × (3 — 1.5)/1.5 × (1.5 — 1.5))=2.50 (кН)

Q₂(3)= — 1.25 + (5 × 1.5)/2 — ([(5 — 5 × (3 — 3)/1.5) × (3 — 1.5)]/2 + 5 × (3 — 3)/1.5 × (3 — 1.5))=-1.25 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 0.63

Изгибающий момент M:

M(x₂)= — R_A × (x₂) — (U₁^справа × 1.5)/2 × (x — 1.5 + (1/3) × 1.5) + ([(U₂^слева — U₂^слева × (3 — x)/1.5) × (x — 1.5)]/2 × (x — 1.5) × (2/3) + U₂^слева × (3 — x)/1.5 × (x — 1.5) × (x — 1.5) × (1/2))

Значения M на краях участка:

M₂(1.50)= — 1.25 × (1.50) — (5 × (1.5 — 0)/1.5 × (1.50 — 0))/2 × (1.50 — 0) × (1/3) — ([(5 — 5 × (3 — 1.5)/1.5) × (1.5 — 1.5)]/2 × (1.50 — 1.5) × (2/3) + 5 × (3 — 1.5)/1.5 × (1.5 — 1.5) × (1.50 — 1.5) × (1/2))=0 (кН·м)

M₂(3)= — 1.25 × (3) — (5 × 1.5)/2 × (3 — 1.5 + (1/3) × 1.5) + ([(5 — 5 × (3 — 3)/1.5) × (3 — 1.5)]/2 × (3 — 1.5) × (2/3) + 5 × (3 — 3)/1.5 × (3 — 1.5) × (3 — 1.5) × (1/2))=0 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 0.63:

M₂(2.13)= — 1.25 × (2.13) — (5 × 1.5)/2 × (2.13 — 1.5 + (1/3) × 1.5) + ([(5 — 5 × (3 — 2.13375)/1.5) × (2.13375 — 1.5)]/2 × (2.13 — 1.5) × (2/3) + 5 × (3 — 2.13375)/1.5 × (2.13375 — 1.5) × (2.13 — 1.5) × (1/2))=0.72 (кН·м)

Файлы отчетов

Тот же расчет полностью — файлом для пояснительной записки или печати.

Полный отчет — WordDOCX · 512 КБ
Полный отчет — PDFPDF · 845 КБ

Повторить этот расчет

Схема собирается в модуле за пару минут: длина, опоры, нагрузки — эпюры строятся автоматически.
Как работает модуль — в справке по расчету балки;
теория построения эпюр — в разделе теоретических основ.

Открыть модуль расчета балки

Расчеты

Служба поддержки

Заявка принята