Числовой пример: расчет балки перекрытия

До этого момента отдельные понятия сопротивления материалов рассматривались по отдельности: нагрузка, внутренние усилия, напряжения, жесткость и устойчивость. Теперь объединим их в одном инженерном расчете и проследим весь путь — от исходных данных до окончательного инженерного решения.

Расчет балки — один из самых распространенных инженерных расчетов. Через него проходят практически все несущие конструкции: балки междуэтажных и чердачных перекрытий, ригели стальных и железобетонных каркасов, прогоны покрытий, перемычки над проемами и многие другие элементы. Именно на примере балки удобно показать, как инженер принимает решение и почему каждый этап расчета определяет следующий.

Предположим, проектируется междуэтажное перекрытие офисного здания. Балки опираются на ригели стального каркаса и воспринимают нагрузку от монолитной железобетонной плиты по профнастилу, пола, перегородок, инженерных коммуникаций и людей. Требуется подобрать минимальное сечение балки, удовлетворяющее требованиям прочности, жесткости и нормативных документов.

Исходные данные

Расчетная схема — двухопорная шарнирно-опертая балка.
Пролет балки — L = 6,6 м.
Шаг балок (грузовая ширина) — B = 1,8 м.
Сечение подбирается автоматически из сортамента двутавров СТО АСЧМ 20-93.
Материал — сталь С245: расчетное сопротивление R_y = 245 МПа, модуль упругости E = 2,06·10⁵ МПа.

Рис. 1. Рассчитываемая балка в каркасе площадки: балки перекрытия опираются на ригели рам по осям 1 и 2; пролет 6,6 м и шаг 1,8 м задают расчетную схему и грузовую ширину полосы нагрузки

Инженерный расчет представляет собой последовательность взаимосвязанных этапов. Каждый следующий шаг использует результаты предыдущего, поэтому ошибка, допущенная при сборе нагрузок, неизбежно перейдет в расчет внутренних усилий, напряжений и прогибов.

Шаг 1. Сбор нагрузок

Любой инженерный расчет начинается со сбора нагрузок. Для каждого слоя конструкции определяется нормативная нагрузка, после чего к ней применяется соответствующий коэффициент надежности по нагрузке γ_f согласно СП 20.13330.

Нагрузка	Нормативная, кПа	γ_f	Расчетная, кПа
Монолитная железобетонная плита по профнастилу (110 мм)	2,75	1,10	3,03
Профилированный настил	0,10	1,05	0,11
Цементно-песчаная стяжка 40 мм	0,72	1,30	0,94
Покрытие пола	0,25	1,30	0,33
Подвесной потолок и инженерные сети	0,35	1,20	0,42
Перегородки (приведенная равномерная нагрузка)	0,33	1,20	0,40
Итого постоянная нагрузка	4,50	—	5,21
Полезная нагрузка (офисные помещения)	2,00	1,20	2,40
Полная нагрузка	6,50	—	7,61

Таблица дает нагрузку на квадратный метр перекрытия. Балка собирает ее с полосы шириной, равной шагу балок, — грузовой ширины B = 1,8 м. Погонная нагрузка равна площадной, умноженной на эту ширину:

q_n = (4,50 + 2,00) · 1,8 = 6,50 · 1,8 = 11,70 кН/м

q = (5,21 + 2,40) · 1,8 = 7,61 · 1,8 = 13,69 кН/м

Значения в столбце «Расчетная» округлены до сотых, а итог перемножен по неокругленной сумме слоев: 5,207 + 2,400 = 7,607 кПа, 7,607 · 1,8 = 13,69 кН/м. Перемножение округленного значения (7,61 · 1,8 = 13,70) дало бы расхождение в последней цифре — это эффект округления, а не ошибка расчета.

Почему здесь нет собственного веса балки?

На этом этапе сечение балки еще неизвестно, поэтому неизвестен и ее собственный вес. Если включить его в сбор нагрузок заранее, а затем программа автоматически добавит вес уже подобранного профиля, нагрузка окажется учтенной дважды.

Рис. 2. Алгоритм учета собственного веса при автоматическом подборе сечения; значения справа — для рассчитываемой балки

Для подобранного двутавра 35Б1:

q_sw = 0,41 кН/м;
итоговая расчетная нагрузка q = 14,10 кН/м.

Рис. 3. Последовательность расчета балки перекрытия и величина, которую определяет каждый этап

Шаг 2. Подбор сечения

Минимальным профилем, удовлетворяющим требованиям прочности и жесткости, оказался двутавр 35Б1:

W_x = 641,3 см³ — момент сопротивления;
I_x = 11 094 см⁴ — момент инерции;
A = 52,68 см² — площадь сечения.

Шаг 3. Определение внутренних усилий

После учета собственного веса:

q = 14,10 кН/м

Реакции опор:

R = qL / 2 = 46,52 кН

Максимальный изгибающий момент:

M = qL² / 8 = 76,75 кН·м

Опасное сечение расположено в середине пролета.

Шаг 4. Проверка прочности

Максимальное напряжение:

σ = M / W_x = 119,7 МПа

Допускаемое:

R_y·γ_c = 245 МПа

Условие прочности выполняется. Коэффициент использования: 0,49.

Шаг 5. Проверка жесткости

Максимальный прогиб:

f = 15,2 мм

Допустимый:

[f] = L / 300 = 22,0 мм

Коэффициент использования: 0,69.

Предельный прогиб принят по таблице Д.1 СП 20.13330 для балок перекрытий (общий случай); проверка выполнена на полную нагрузку (постоянная плюс временная).

Визуализация результата расчета

Полученный результат можно увидеть не только в числах, но и непосредственно на расчетной модели. На рисунке показаны деформированная форма балки и распределение нормальных напряжений по результатам расчета двутавра 35Б1.

Максимальное напряжение составляет около 119,7 МПа, а максимальный прогиб — 15,2 мм, что соответствует приведенным выше расчетным значениям. Деформированная форма на визуализации показана с увеличенным масштабом, чтобы прогиб был заметен на изображении.

Такая визуализация не заменяет численную проверку, но позволяет сопоставить расчетные величины с физическим поведением элемента: увидеть характер изгиба, положение наиболее нагруженной зоны и распределение напряжений по высоте сечения.

Трехмерная визуализация балки 35Б1: деформированная форма с цветовой картой нормальных напряжений от −120 до 120 МПа, шарнирные опоры по концам — **Рис. 4.** Напряженно-деформированное состояние балки 35Б1 по результатам расчета; деформированная форма показана с увеличенным масштабом для наглядности

Та же визуализация напряженно-деформированного состояния в темной теме — **Рис. 4.** Напряженно-деформированное состояние балки 35Б1 по результатам расчета; деформированная форма показана с увеличенным масштабом для наглядности

Итоги расчета

Коэффициент использования по прочности — 0,49.
Коэффициент использования по жесткости — 0,69.

Минимальным профилем, удовлетворяющим требованиям прочности и жесткости, оказался двутавр 35Б1.

Определяющей стала проверка по жесткости: более легкие профили обеспечивали достаточную прочность, однако не удовлетворяли требованиям по предельному прогибу.

Этот пример показывает причинно-следственную цепочку инженерного расчета: нагрузки определяют внутренние усилия, внутренние усилия — требования к сечению, а выбранное сечение затем проверяется по прочности и жесткости. Именно поэтому расчет всегда начинается со сбора нагрузок.

Полный отчет модуля «Расчет балки»

Все числа этой статьи взяты из отчета, который модуль «Расчет балки» СопроматГуру формирует автоматически. Ниже он приведен целиком — с выводом каждой формулы, подстановкой чисел, независимой численной проверкой и подбором сечения. Это тот самый расчет с раскрытым ходом решения: результат можно проверить строку за строкой, а сам отчет — выгрузить в Word одной кнопкой.

Расчетная схема балки пролетом 6,6 м с равномерной нагрузкой и эпюры N, Q, M, прогибов y и углов поворота θ, построенные модулем «Расчет балки» — **Рис. 5.** Расчетная схема и эпюры, построенные модулем: Q_max = 46,52 кН, M_max = 76,75 кН·м, прогиб 15,24 мм — те же значения, что и в отчете ниже

Те же расчетная схема и эпюры в темной теме — **Рис. 5.** Расчетная схема и эпюры, построенные модулем: Q_max = 46,52 кН, M_max = 76,75 кН·м, прогиб 15,24 мм — те же значения, что и в отчете ниже

Полный отчет — WordDOCX · 819 КБПолный отчет — PDFPDF · 24 страницы · 322 КБ

Общие сведения

Расчетная схема представляет собой статически определимую двухопорную шарнирно-опертую балку пролетом L = 6.6 м.

В точке A (x = 0 м) установлена подвижная (катковая) опора, воспринимающая только поперечную силу; В точке B (x = 6.6 м) установлена неподвижная шарнирная опора, воспринимающая продольную и поперечную силы.

К балке приложена равномерно распределенная нагрузка q₁ = 13.69 кН/м.

Расчет выполняется в следующем объеме:

— определение реакций опор из уравнений статического равновесия;

— построение эпюры поперечных сил Q(x) методом сечений;

— построение эпюры изгибающих моментов M(x) методом сечений;

— построение эпюры продольных сил N(x) методом сечений;

— определение прогибов y(x) и углов поворота θ(x) поперечных сечений методом начальных параметров;

— численная проверка результатов методом трапеций (N = 400);

— подбор оптимального поперечного сечения балки.

Каждый раздел сопровождается подробными пошаговыми выкладками — полноценный ручной расчет с формулами и подстановками, а не только итоговые значения.

Результаты расчета

Параметр	Значение	Комментарий
Учет собственного веса
q_sw	0.41 кН/м	равномерно распределенная нагрузка по всей длине балки
Реакции опор
R_A	46.52 кН	вертикальная реакция, опора A (x = 0 м)
R_B	46.52 кН	вертикальная реакция, опора B (x = 6.60 м)
Внутренние усилия
Q_max	46.52 кН	при x = 0 м
Q_min	-46.52 кН	при x = 6.60 м
M_max	76.75 кН·м	при x = 3.30 м
M_min	0 кН·м	при x = 0; 6.60 м
Перемещения
w_max	-15.2385 мм	при x = 3.30 м
θ_max	-0.0074 рад	при x = 0 м
Подбор сечения
Сечение	Двутавр 35Б1	СТО АСЧМ 20-93 (Прокат стальной сортовой фасонного профиля. Двутавры горячекатаные с параллельными гранями полок. Технические условия)
A	52.68 см²
W_x	641.30 см³
I_x	11 094 см⁴
W_y	90.98 см³
I_y	791.54 см⁴
По нормальным напряжениям	119.68 МПа ≤ 245 МПа	Выполнено
По касательным напряжениям	25.03 МПа ≤ 141 МПа	Выполнено
По 3-й теории прочности	119.68 МПа ≤ 245 МПа	Выполнено
Результат	Сечение подобрано	Коэффициент использования: 0.693
Проверка прогиба
f_max	15,2 мм	пролет L = 6,6 м
[f]	22,0 мм	L/300 · СП 16.13330.2017 (СП 20.13330.2017, табл. Д.1)
Использование	69 %	Балки перекрытий (общий случай) · Полная (D+L)
Результат	Выполнено	f ≤ [f]: 15,2 ≤ 22,0 мм

Определение опорных реакций

1.Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.

ΣP_ix=0: H_B=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке A:

ΣM_A=0: — q₁ × 6.6 × (6.6/2) + R_B × 6.6 — q₂ × 6.6 × (6.6/2)=0

Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке B:

ΣM_B=0: — R_A × 6.6 + q₁ × 6.6 × (6.6 — 6.6/2) + q₂ × 6.6 × (6.6 — 6.6/2)=0

2.Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке B:

R_B=( q₁ × 6.6 × (6.6/2) + q₂ × 6.6 × (6.6/2)) /6.6=( 13.69 × 6.6 × (6.6/2) + 0.41 × 6.6 × (6.6/2)) /6.6=46.52 (кН)

3.Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке A:

R_A=( q₁ × 6.6 × (6.6 — 6.6/2) + q₂ × 6.6 × (6.6 — 6.6/2)) /6.6=( 13.69 × 6.6 × (6.6 — 6.6/2) + 0.41 × 6.6 × (6.6 — 6.6/2)) /6.6=46.52 (кН)

4.Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:

H_B=0 (кН)

5.Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:

ΣP_iy=0: R_A — q₁ × 6.6 + R_B — q₂ × 6.6= 46.52 × 1 — 13.69 × 6.6 + 46.52 × 1 — 0.41 × 6.6=0

Построение эпюр

1.Рассмотрим первый участок 0 ≤ x1 < 6.6

Продольная сила N:

N(x₁)=0

Значения N на краях участка:

N₁(0)=0 (кН)

N₁(6.60)=0 (кН)

Поперечная сила Q:

Q(x₁)=R_A — q₁ × (x₁ — 0) — q₂ × (x₁ — 0)

Значения Q на краях участка:

Q₁(0)=46.52 — 13.69 × (0 — 0) — 0.41 × (0 — 0)=46.52 (кН)

Q₁(6.60)=46.52 — 13.69 × (6.6 — 0) — 0.41 × (6.6 — 0)=-46.52 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения: x = 3.30

Изгибающий момент M:

M(x₁)=R_A × (x₁) — q₁ × (x₁)²/2 — q₂ × (x₁)²/2

Значения M на краях участка:

M₁(0)=46.52 × (0) — 13.69 × (0 — 0)²/2 — 0.41 × (0 — 0)²/2=0 (кН·м)

M₁(6.60)=46.52 × (6.60) — 13.69 × (6.60 — 0)²/2 — 0.41 × (6.60 — 0)²/2=0 (кН·м)

Локальный экстремум в точке x = 3.30:

M₁(3.30)=46.52 × (3.30) — 13.69 × (3.30 — 0)²/2 — 0.41 × (3.30 — 0)²/2=76.75 (кН·м)

Определение прогибов и углов поворота

1.Для определения прогибов и углов поворота применяем метод начальных параметров (МНП). Жесткость балки EI = 22853.64 кН·м².

Дифференциальное уравнение упругой линии:

EI × y″(x)=−M(x)

Дважды интегрируя, получаем универсальное уравнение упругой линии:

EI × y(x)=EI × y₀ + EI × θ₀ × x − ∫∫M(x)dx²

2.Граничные условия и определение начальных параметров:

Прогиб над левой опорой A равен нулю, откуда EIw₀ = 0.

Начальный угол поворота θ₀ определим из условия нулевого прогиба над опорой B:

EI × w(x_B)=EIw₀ + EIθ₀ × 6.6 + R_A × z³/6 — q₁ × (z-0)⁴/24 — q₂ × (z-0)⁴/24=EIw₀ + EIθ₀ × 6.6 + 46.52 × 6.6³/6 — 13.69 × (6.6−0)⁴/24 — 0.41 × (6.6−0)⁴/24=EIw₀ + 6.6 × EIθ₀ + 1114.41=0

⇒ EIθ₀=-168.85 (кН·м²); EIw₀=0 (кН·м³)

3.Построение эпюр углов поворота и прогибов по участкам:

Участок I 0 ≤ z ≤ 6.6

Угол поворота сечения θ:

EIθ^I(z)=EIθ₀ + R_A × z²/2 — q₁ × (z-0)³/6 — q₂ × (z-0)³/6=-168.85 + 46.52 × z²/2 — 13.69 × (z-0)³/6 — 0.41 × (z-0)³/6=— 2.35 × z³ + 23.26 × z² — 168.85;

Значения EIθ на краях отрезка:

EIθ^I(0)=— 2.35 × 0³ + 23.26 × 0² — 168.85=-168.85 (кН·м²);

EIθ^I(6.6)=— 2.35 × 6.6³ + 23.26 × 6.6² — 168.85=168.85 (кН·м²);

Прогиб w:

EIw^I(z)=EIθ₀ × z + R_A × z³/6 — q₁ × (z-0)⁴/24 — q₂ × (z-0)⁴/24=-168.85 × z + 46.52 × z³/6 — 13.69 × (z-0)⁴/24 — 0.41 × (z-0)⁴/24=— 0.59 × z⁴ + 7.75 × z³ — 168.85 × z;

Значения EIw на краях отрезка:

EIw^I(0)=— 0.59 × 0⁴ + 7.75 × 0³ — 168.85 × 0=0 (кН·м³);

EIw^I(6.6)=— 0.59 × 6.6⁴ + 7.75 × 6.6³ — 168.85 × 6.6=0 (кН·м³);

Локальный экстремум в точке z = 3.3:

EIw^I(3.3)=— 0.59 × 3.3⁴ + 7.75 × 3.3³ — 168.85 × 3.3=-348.25 (кН·м³);

4.Максимальный прогиб и угол поворота:

EIw_max = EI·w = EIw(3.30) = — 0.59 × 3.3⁴ + 7.75 × 3.3³ — 168.85 × 3.3 = -348.2542 (кН·м³)

w_max = EIw_maxEI = -348.254222853.64 = -0.0152 (м) = -15.2385 (мм)

EIθ_max = EI·θ = EIθ(0) = — 2.35 × 0³ + 23.26 × 0² — 168.85 = -168.8505 (кН·м²)

θ_max = EIθ_maxEI = -168.850522853.64 = -0.0074 (рад)

5.Проверка граничных условий:

Опора A: EIw^I(0) = — 0.59 × 0⁴ + 7.75 × 0³ — 168.85 × 0 = 0 (кН·м³) ✓

Опора B: EIw^I(6.60) = — 0.59 × 6.6⁴ + 7.75 × 6.6³ — 168.85 × 6.6 = 0 (кН·м³) ✓

6.Численная проверка (метод трапеций, N=400):

Для независимого контроля точности эпюры прогибов y(x) и углов поворота θ(x), построенные методом начальных параметров (аналитически), сверяются с результатами численного расчета — двойного интегрирования эпюры изгибающих моментов M(x) методом трапеций.

Δ — абсолютная погрешность численного метода: Δ = |аналитическое − численное| значение.

z, м	EIw аналит.	EIw числ.	Δ	EIθ аналит.	EIθ числ.	Δ
0	0	0	0	-168.8505	-168.8489	0.0016
3.30	-348.2542	-348.2499	0.0043	0	0	0
6.60	0	0	0	168.8505	168.8489	0.0016

Максимальные отклонения: ΔEIw_max = 0.0043 ΔEIθ_max = 0.0016

Относительная погрешность: δ_w = 0.0012 % δ_θ = 0.0010 %

Вывод: результаты аналитического и численного методов согласуются (δ ≤ 5%) — эпюры построены корректно.

Проверка прогиба

Норматив: СП 16.13330.2017 — Балки перекрытий (общий случай) (Полная (D+L)), СП 20.13330.2017, табл. Д.1.

Расчетный пролет: L = 6,6 м.

Предельный прогиб: [f] = L/300 = 22,0 мм.

Фактический прогиб: f = 15,2 мм (из эпюры y(x)).

Условие: f ≤ [f] → Выполнено. Использование 69%.

Подбор сечения

Из эпюры изгибающих моментов М определяем, что M_max = 76.75 (кН × м). Выполним перевод единиц измерения максимального изгибающего момента в с систему СИ: M_max = 76.75 (кН × м) = 76750 (Н × м).

Из эпюры поперечных сил Q определяем, что Q_max = 46.52 (кН). Выполним перевод единиц измерения максимальной поперечной силы в с систему СИ: Q_max = 46.52 (кН) = 46520 (Н).

Условие прочности при изгибе по нормальным напряжениям:

\(\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_x} \leq [\sigma]\)

где: М_max — наибольший изгибающий момент;

W_x — момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси Ox;

Заметим, что наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях балки возникают в наиболее удаленных точках от нейтральной оси Oх, которая проходит через центр тяжести сечения.

Из условия прочности по нормальным напряжениям вычислим значение минимального требуемого момента сопротивления сечения: \(W_{x} \geq \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{76750 (Н × м)}{[245 (МПа)]} = 313.265 (см^{3})\)

Дополнительно из условия жесткости (проверка прогиба) требуемый момент инерции: \(I_{x}^{тр} \geq 7684.34 (см^{4})\)

Из сортамента выбираем ближайший больший номер сечения у которого: \(W_{x}^{таб} \geq W_{x}\)

Из сборника СТО АСЧМ 20-93 (Прокат стальной сортовой фасонного профиля. Двутавры горячекатаные с параллельными гранями полок. Технические условия) выбираем: Двутавр 35Б1

Геометрические характеристики выбранного сечения:

Момент сопротивления относительно оси Ox: W_x = 641.3 (см³)

Высота сечения: h = 34.6 (см)

Ширина сечения: b = 17.4 (см)

Толщина стенки: t_s = 0.6 (см)

Средняя толщина полки: t_f = 0.9 (см)

Статический момент полусечения относительно оси Ox: S_x = 358.09 (см³)

Осевой момент инерции относительно оси Ox: I_x = 11094 (см⁴)

1.Проверим прочность выбранного сечения (Двутавр 35Б1) по нормальным напряжениям:

\(\sigma_{max} = \frac{M_{max}}{W_{x}^{таб}} = \frac{76750(Н × м)}{641.3 × 10^{-6} (м^{3})} = 119.679 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

2.Определим, удовлетворяет ли принятое сечение балки (Двутавр 35Б1) условию прочности по касательным напряжениям:

\(\tau_{max} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b × I_{x}} \leq [\tau]\)

где: \(Q_{max}\) — наибольшая поперечная сила;

\(S_{x}^{отс}\) — статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной оси Oх;

\(b\) — ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки;

\(I_{x}\) — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси Ox;

\(\tau_{max} = \frac{Q_{max} × S_{x}}{b(y) × I_{x}} = \frac{46520(Н) × 358.09 × 10^{-6} (м^{3})}{0.6 × 10^{-2} (м) × 11094 × 10^{-8} (м^{4})} = 25.026 (МПа) \leq 141 (МПа)\)

3.По теории наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) вычислим эквивалентные напряжения в рассматриваемых точках выбранного поперечного сечения, по формуле:

\(\sigma^{экв}_{i} = \sqrt{ \sigma^{2}_{i} + 4 × \tau^{2}_{i} } \leq [\sigma]\)

\(\sigma_{i} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × y_{i}\)

где y — расстояние от центра тяжести сечения до выбранной точки;

Касательные напряжения в i-ой точке вычислим по формуле:

\(\tau_{i} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}}\)

где \(S_{x}^{отс} = A^{отс} × y_{c}\) — статический момент отсеченной части сечения выше выбранной точки, относительно оси X;

\(y_{c}\) — координата центра тяжести отсеченной части сечения, относительно оси X;

Выберем для проверки 4 точки в поперечном сечении:

1 точка — с координатой y₁ = h/2, статический момент S_x(y = h/2) = 0;

2 точка — с координатой у₂ = h/2 – t;

3 точка — с координатой у₃ = h/2 – t; Статический момент такой же как и для второй точки;

4 точка — в центре сечения, с координатой у₄ = 0;

Для 1 точки \(y_{1} = \frac{h}{2}\):

\(\sigma_{1} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × \frac{h}{2} = \frac{76750(Н* м)}{11094 × 10^{-8} (м^{4})} × \frac{34.6 (см)}{2} = 119.7 (МПа)\)

Статический момент отсеченной части \(S_{x} = 0\) т.к. \(A_{отс} = 0\)

\(\tau_{1} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} = \)\(\frac{46520(Н) × 0 (м^{3})}{0.174 (м) × 11094 × 10^{-8} (м^{4})} = 0 (МПа)\)

Для 2 точки \(y_{2} = (\frac{h}{2} — t_{f})\):

\(\sigma_{2} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × (\frac{h}{2} — t_{f}) = \frac{76750(Н* м)}{11094 × 10^{-8} (м^{4})} × (\frac{34.6 (см)}{2} — 0.9 (см)) = 113.5 (МПа)\)

\(y_{c} = (\frac{h}{2} — \frac{t_{f}}{2}) = (\frac{34.6 (см)}{2} — \frac{0.9 (см)}{2}) = 16.85 (см)\)

\(S_{x}^{отс} = 15.66 (см^{2}) × 16.85 (см) = 263.871 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{2} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} = \)\(\frac{46520(Н) × 263.871 × 10^{-6} (м^{3})}{0.174 (м) × 11094 × 10^{-8} (м^{4})} = 0.6 (МПа)\)

Для 3 точки \(y_{3} = (\frac{h}{2} — t_{s})\):

\(\sigma_{3} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × (\frac{h}{2} — t_{s}) = \frac{76750(Н* м)}{11094 × 10^{-8} (м^{4})} × (\frac{34.6 (см)}{2} — 0.9 (см)) = 113.5 (МПа)\)

\(y_{c} = (\frac{h}{2} — \frac{t_{f}}{2}) = (\frac{34.6 (см)}{2} — \frac{0.9 (см)}{2}) = 16.85 (см)\)

\(S_{x}^{отс} = 15.66 (см^{2}) × 16.85 (см) = 263.871 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{3} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} = \)\(\frac{46520(Н) × 263.871 × 10^{-6} (м^{3})}{0.6 × 10^{-2} (м) × 11094 × 10^{-8} (м^{4})} = 18.4 (МПа)\)

Для 4 точки \(y_{4} = 0\):

\(\sigma_{4} = \frac{M_{max}}{I_{x}} × 0 = \frac{76750(Н* м)}{11094 × 10^{-8} (м^{4})} × 0 = 0 (МПа)\)

Статический момент \(S_{x}(y = 0)\) равен статическому моменту полусечения \( = 358.09 × 10^{-6} (м^{3})\)

\(\tau_{4} = \frac{Q_{max} × S_{x}^{отс}}{b(y) × I_{x}} = \)\(\frac{46520(Н) × 358.09 × 10^{-6} (м^{3})}{0.6 × 10^{-2} (м) × 11094 × 10^{-8} (м^{4})} = 25 (МПа)\)

По третьей теории прочности:

\(\sigma^{экв} = \sqrt{ \sigma^{2} + 4 × \tau^{2} } \leq [\sigma]\)

\(\sigma_{1}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{1}^{2} + 4 × \tau_{1}^{2} }\)\( = \sqrt{ 119.684^{2} + 4 × 0^{2} }\)\( = 119.7 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{2}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{2}^{2} + 4 × \tau_{2}^{2} }\)\( = \sqrt{ 113.458^{2} + 4 × 0.6^{2} }\)\( = 113.5 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{3}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{3}^{2} + 4 × \tau_{3}^{2} }\)\( = \sqrt{ 113.458^{2} + 4 × 18.4^{2} }\)\( = 119.3 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

\(\sigma_{4}^{экв} = \sqrt{ \sigma_{4}^{2} + 4 × \tau_{4}^{2} }\)\( = \sqrt{ 0^{2} + 4 × 25^{2} }\)\( = 50.1 (МПа) \leq 245 (МПа)\)

Условия проверок выполняются. Сечение подобрано правильно. Окончательно из СТО АСЧМ 20-93 (Прокат стальной сортовой фасонного профиля. Двутавры горячекатаные с параллельными гранями полок. Технические условия) выбираем: Двутавр 35Б1

Размеры выбранного сечения: