Изгибающий момент M — внутреннее усилие, характеризующее изгиб балки в данном сечении. Формальное определение дает метод сечений: изгибающий момент в сечении равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил и пар, приложенных по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения. Единица измерения — кН·м.
Физический смысл
Мысленно разрежем балку и отбросим одну часть. Чтобы оставшаяся часть осталась в равновесии, в сечении должны действовать внутренние усилия — они и заменяют отброшенную часть. Пара сил, распределенная по сечению в виде нормальных напряжений — сжатие с одной стороны оси, растяжение с другой, — и есть изгибающий момент. Отсюда его прямая связь с прочностью: наибольшие нормальные напряжения в сечении пропорциональны моменту, σ = M/W ≤ [σ], где W — момент сопротивления сечения.
Правило знаков
В строительной практике момент принято считать положительным, когда растянуты нижние волокна: балка «провисает» серединой вниз. Эпюру M откладывают со стороны растянутого волокна — по эпюре тогда сразу видно, где ставить рабочую арматуру в железобетоне и какая полка стального профиля растянута. Знак важен для чтения: смена знака эпюры означает точку перегиба изогнутой оси.
Дифференциальные зависимости
Момент связан с поперечной силой и нагрузкой зависимостями Журавского:
dM/dx = Q, dQ/dx = −q
Из них следуют рабочие правила, которыми проверяется каждая эпюра:
- на участках без распределенной нагрузки эпюра M линейна, с равномерной нагрузкой — квадратная парабола;
- там, где Q = 0, момент достигает экстремума — так находится расчетное сечение;
- сосредоточенная сила дает излом эпюры M, сосредоточенный момент — скачок на свою величину;
- наклон эпюры M в любой точке равен ординате эпюры Q.
Пример вычисления
Двухопорная балка пролетом L = 6 м под равномерной нагрузкой q = 12 кН/м. Реакции по симметрии: R = qL/2 = 36 кН. Момент в сечении на расстоянии x от левой опоры — сумма моментов сил слева:
M(x) = R·x − q·x²/2 = 36x − 6x²
В середине пролета (x = 3 м): M = 108 − 54 = 54 кН·м — это и есть максимум, что подтверждает формула qL²/8 = 12·36/8 = 54 кН·м. Поперечная сила здесь равна нулю — экстремум на месте.
Роль в расчете
Эпюра M отвечает на два главных вопроса проверки прочности: где опасное сечение и какое усилие оно несет. Дальше момент работает во всех ветках расчета: подбор сечения ведется по требуемому моменту сопротивления Wтр = Mmax/[σ], проверка заданного профиля — по σ = M/W, в железобетоне момент определяет требуемое армирование. Типовые значения максимальных моментов для стандартных схем собраны в сводке формул, а порядок построения эпюры — в статье о построении эпюр.
Для произвольной схемы эпюру моментов с подписанными экстремумами строит сервис расчета балки — с выводом функций M(x) по участкам, как в ручном решении.