Табличные формулы для стандартных расчетных схем — рабочий инструмент инженера: ими выполняется прикидка сечения до подробного расчета и контролируется порядок величины после него. Ниже — сводка максимальных изгибающих моментов и прогибов для схем, которые покрывают большинство практических задач. Обозначения: F — сосредоточенная сила, q — интенсивность равномерно распределенной нагрузки, L — пролет или вылет, EI — изгибная жесткость сечения.
Двухопорная (шарнирно-опертая) балка
| Схема | Нагрузка | Mmax | Положение | fmax |
|---|---|---|---|---|
| Сила F в середине пролета | FL/4 | середина | FL³/(48EI) | |
| Сила F на расстоянии a от левой опоры (b = L − a) | Fab/L | под силой | ≈ Fab(L+b)√(3a(L+b))/(27·L·EI) при a ≥ b | |
| Равномерная нагрузка q | qL²/8 | середина | 5qL⁴/(384EI) | |
| Треугольная нагрузка с максимумом q₀ | q₀L²/(9√3) ≈ 0.064·q₀L² | x ≈ 0.577L от нулевой ординаты | — | |
| Сосредоточенный момент M₀ на опоре | M₀ | у нагруженной опоры | — |
Консольная балка
| Схема | Нагрузка | Mmax (в заделке) | fmax (на конце) |
|---|---|---|---|
| Сила F на свободном конце | FL | FL³/(3EI) | |
| Равномерная нагрузка q | qL²/2 | qL⁴/(8EI) | |
| Момент M₀ на свободном конце | M₀ (постоянен по длине) | M₀L²/(2EI) |
Балка с защемленными концами
| Схема | Нагрузка | Опорный момент | Пролетный момент | fmax |
|---|---|---|---|---|
| Равномерная нагрузка q | qL²/12 | qL²/24 | qL⁴/(384EI) | |
| Сила F в середине пролета | FL/8 | FL/8 | FL³/(192EI) |
Как читать эту сводку
- Сравнение схем. Одна и та же нагрузка q дает пролетный момент qL²/8 на шарнирных опорах и qL²/24 при защемлении — жесткие узлы втрое разгружают пролет, перенося момент на опоры.
- Знаки. Опорные моменты защемленной балки растягивают верхнее волокно, пролетные — нижнее: армирование и проверка полок ведутся по обеим зонам.
- Суперпозиция. В упругой стадии формулы складываются: балка с q и силой F в середине несет M = qL²/8 + FL/4. Складывать можно и прогибы.
- Пределы применимости. Таблица справедлива для постоянного сечения и статически неизменяемых канонических схем. Многопролетные, ступенчатые и схемы с трапециевидными нагрузками к табличным не сводятся.
Быстрая прикидка сечения
Из Mmax требуемый момент сопротивления получается одной строкой: Wтр = Mmax/[σ]. Для балки на двух опорах с q = 12 кН/м и L = 6 м: M = 54 кН·м, при [σ] = 210 МПа — Wтр = 257 см³, что закрывает двутавр I 22а по сортаменту. Дальше сечение проверяется по прогибу — см. статью о прогибах.
Схемы вне таблицы — врезанные шарниры, неразрезные балки, комбинированные нагрузки — считает сервис расчета балки: эпюры, прогибы и подбор сечения с ходом решения для произвольной расчетной схемы.