Консольная балка — стержень, защемленный одним концом и свободный на другом. Это единственная из базовых схем, которая держит нагрузку одной опорой, поэтому вся статика собирается в заделке: балконная плита, козырек над входом, кронштейн под оборудование, вылет подкрановой консоли — все это расчетная схема консоли.
Реакции в заделке
Жесткая заделка запрещает оба линейных перемещения и поворот, значит дает три реакции: вертикальную R, горизонтальную H и опорный момент MA. Три неизвестные при трех уравнениях равновесия — консоль статически определима, и реакции находятся напрямую:
- ΣX = 0 → H = 0 при отсутствии продольных нагрузок;
- ΣY = 0 → R равна сумме вертикальных нагрузок;
- ΣMA = 0 → опорный момент равен моменту всех нагрузок относительно заделки.
Эпюры внутренних усилий
Удобное свойство консоли: эпюры можно строить от свободного конца, вообще не вычисляя реакций — по одну сторону от любого сечения тогда лежат только внешние нагрузки. Поперечная сила накапливается от свободного конца к заделке, изгибающий момент растет туда же и достигает максимума в защемлении. Растянутое волокно при нагрузке вниз — сверху: армировать и проверять сжатую полку следует с учетом этого.
Сосредоточенная сила на конце
Для консоли длиной L с силой F на свободном конце:
- поперечная сила постоянна: Q = F по всей длине;
- момент линейный: M(x) = F·x, максимум в заделке MA = F·L;
- прогиб конца f = FL³/(3EI), угол поворота θ = FL²/(2EI).
Равномерно распределенная нагрузка
Для нагрузки интенсивностью q по всей длине:
- поперечная сила линейная: Q(x) = q·x, в заделке Q = qL;
- момент квадратичный: M(x) = q·x²/2, в заделке MA = qL²/2;
- прогиб конца f = qL⁴/(8EI), угол поворота θ = qL³/(6EI).
Числовой пример
Кронштейн из двутавра I 20 (Ix = 1840 см⁴, Wx = 184 см³), вылет L = 2 м, сила на конце F = 10 кН, сталь E = 2.06·10⁵ МПа.
- Момент в заделке: MA = 10·2 = 20 кН·м.
- Напряжения: σ = M/W = 20·10³/184·10⁻⁶ ≈ 109 МПа — запас к пределу текучести С245 существенный.
- Прогиб конца: f = FL³/(3EI) = 10·10³·2³/(3·2.06·10¹¹·1840·10⁻⁸) ≈ 7.0 мм, то есть L/286.
Обе проверки — прочность и жесткость — выполняются; определяющей оказалась жесткость: резерв по прогибу меньше, чем по напряжениям. Для консолей это типично, потому и предельные прогибы для консольных участков нормируются от удвоенного вылета.
На что обратить внимание
- Максимум момента и поперечной силы — всегда в заделке; сечение проверяется именно там.
- Прогиб растет как куб (сила) и четвертая степень (распределенная нагрузка) длины вылета: удлинение консоли на четверть почти удваивает прогиб.
- Сосредоточенный момент на конце дает постоянную эпюру M по всей длине и нулевую поперечную силу — удобный тест для самопроверки.
Проверить собственное решение можно в сервисе расчета балки: схема консоли собирается двумя кликами, эпюры Q, M и упругая линия строятся с ходом решения, а прогиб сверяется с нормативным пределом.