Прежде чем записывать первое уравнение или строить конечно-элементную модель, инженер оценивает саму конструкцию. Многие ошибки можно обнаружить еще на чертеже: одни схемы принципиально не способны воспринимать нагрузку, в других опасные напряжения возникают независимо от прочности материала. Такой предварительный анализ позволяет отказаться от заведомо неработоспособных решений еще до начала расчета.
Схема, которая не сопротивляется
Не всякую конструкцию имеет смысл рассчитывать. Иногда проблема заключается не в недостаточной прочности элементов, а в самой расчетной схеме.
Представим две балки, соединенные центральным шарниром, причем каждая из них опирается на собственный шарнир. Конструктивно центральный шарнир — это болт, поставленный в отверстие парных накладок, которые охватывают стенки обеих балок с двух сторон: он передает поперечную силу с одной балки на другую и не препятствует их взаимному повороту. Болт при этом работает в двух срезах, и на первый взгляд задача сводится к его подбору — диаметр назначают из условий прочности на срез по телу болта и на смятие соединяемых элементов (раздел 14 СП 16.13330), а сами накладки проверяют по ослабленному отверстиями сечению нетто. Однако считать здесь пока нечего — сначала необходимо убедиться, что сама схема способна сопротивляться нагрузке.
Пусть три шарнира лежат на одной прямой. Если центральный узел сместится вниз на малую величину δ, балки просто повернутся вокруг крайних шарниров, а их длины изменятся лишь на величину второго порядка малости. Продольные усилия, которые могли бы воспрепятствовать этому перемещению, практически не возникают. Иначе говоря, схема не оказывает сопротивления такому перемещению и представляет собой мгновенно изменяемую систему, или мгновенный механизм.
Коллинеарность трех шарниров является здесь принципиальным условием. Достаточно вывести центральный шарнир из линии опор, чтобы ситуация полностью изменилась. Появляется излом оси конструкции, благодаря которому уже при малом перемещении возникают продольные силы. Та же схема становится работоспособной.
Три шарнира на одной прямой — лишь частный случай более общего признака. Опасность представляют:
- Любое перемещение, не вызывающее сопротивления в первом порядке малости. Поэтому инженер ищет в чертеже не сами шарниры, а возможный механизм свободного перемещения.
- Свободный поворот вокруг оси. Если элемент закреплен лишь в двух точках, определяющих ось вращения, кручение может практически не встречать сопротивления. Для соединения это означает крайне низкую крутильную жесткость.
При этом мгновенный механизм вовсе не означает мгновенного разрушения конструкции. После небольшого перемещения геометрия изменяется, появляются внутренние усилия, и система вновь начинает сопротивляться нагрузке. Однако возникающие усилия могут оказаться во много раз больше ожидаемых, поэтому именно их приходится учитывать при проектировании соединения. Насколько они велики, определяется уже не положением шарниров, а геометрией самого узла.
Напряжение и концентрация: где начинается разрушение
Если расчетная схема работоспособна, следующий вопрос заключается в другом: в каком месте конструкция начнет разрушаться первой. Для ответа на него инженер переходит от анализа конструкции к анализу напряженного состояния материала.
Основной величиной сопротивления материалов является напряжение — внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади. В отличие от усилия, которое характеризует работу элемента в целом, напряжение описывает состояние материала в каждой его точке. При равномерном распределении продольной силы оно определяется простым соотношением:
σ = N / A
Именно напряжения позволяют судить о том, выдержит ли материал нагрузку в конкретном месте конструкции.
Возможность говорить о напряжении «в точке» основана на гипотезах сплошности и однородности материала. Чтобы связать напряжения с деформациями и перемещениями, дополнительно принимаются гипотезы изотропности и линейной упругости. Подробно эти допущения рассматриваются в статье «Гипотезы о материале», а здесь они принимаются как основа дальнейших рассуждений.
Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную сверху. Под действием изгиба верхние волокна укорачиваются и работают на сжатие, нижние удлиняются и работают на растяжение. Знак изгибающего момента определяет, какие волокна окажутся растянутыми, а какие — сжатыми. На консоли или над промежуточной опорой эта картина меняется на противоположную.
При этом деформации изменяются по высоте непрерывно, а поперечное сечение сохраняет свою форму. Такое поведение описывается гипотезой плоских сечений, лежащей в основе классической теории изгиба.
Однако даже правильное распределение напряжений еще не гарантирует надежности конструкции.
Внутренний силовой поток непрерывен. Растянутое волокно невозможно оборвать «в пустоту» — усилие должно передаваться дальше через материал или соединение. Если накладка выполнена слишком низкой, крайние волокна упираются в ее кромку, силовой поток резко сгущается, и в этой области возникает концентрация напряжений. Среднее напряжение по сечению может оставаться сравнительно небольшим, однако локально материал уже работает на пределе.
До сих пор речь шла о разрушении, которое наступает при достижении материалом предельных напряжений. Однако существует и другой механизм потери несущей способности: сжатый элемент может потерять работоспособность значительно раньше, не достигнув предела прочности материала.