Расчет геометрических характеристик

Площадь сечения

Суммарную площадь фигуры вычислим по формуле:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ + A₆ + A₇

где: A₁ - площадь двутавра №1, A₂ - площадь прямоугольника №2, A₃ - площадь прямоугольника №3, A₄ - площадь уголка №4, A₅ - площадь уголка №5, A₆ - площадь уголка №6, A₇ - площадь уголка №7.

A₁ = 87.38 (см²) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93 = 87.38 (см²) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93

A₂ = b₂ × h₂ = 35 × 2 = 70 (см²)

A₃ = b₃ × h₃ = 35 × 2 = 70 (см²)

A₄ = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

A₅ = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

A₆ = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

A₇ = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см²) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

Получим, A = 87.38 + 70 + 70 + 11.5 + 11.5 + 11.5 + 11.5 = 273.38 (см²)

Статические моменты

Обозначим начало координат в самой левой нижней точке сечения. Тогда статический момент сложной фигуры относительно оси Ox равен сумме статических моментов простых фигур составляющих эту фигуру.

S_x = S_x⁽¹⁾ + S_x⁽²⁾ + S_x⁽³⁾ + S_x⁽⁴⁾ + S_x⁽⁵⁾ + S_x⁽⁶⁾ + S_x⁽⁷⁾

где S_x⁽¹⁾ - статический момент двутавра №1 отн. оси Ox; S_x⁽²⁾ - статический момент прямоугольника №2 отн. оси Ox; S_x⁽³⁾ - статический момент прямоугольника №3 отн. оси Ox; S_x⁽⁴⁾ - статический момент уголка №4 отн. оси Ox; S_x⁽⁵⁾ - статический момент уголка №5 отн. оси Ox; S_x⁽⁶⁾ - статический момент уголка №6 отн. оси Ox; S_x⁽⁷⁾ - статический момент уголка №7 отн. оси Ox.

S_x⁽¹⁾ = A₁ × y_c⁽¹⁾ = 87.38 × 17 = 1485.46 (см³)
S_x⁽²⁾ = A₂ × y_c⁽²⁾ = 70 × 33 = 2310 (см³)
S_x⁽³⁾ = A₃ × y_c⁽³⁾ = 70 × 1 = 70 (см³)
S_x⁽⁴⁾ = A₄ × y_c⁽⁴⁾ = 11.5 × 29.85 = 343.275 (см³)
S_x⁽⁵⁾ = A₅ × y_c⁽⁵⁾ = 11.5 × 4.15 = 47.725 (см³)
S_x⁽⁶⁾ = A₆ × y_c⁽⁶⁾ = 11.5 × 4.15 = 47.725 (см³)
S_x⁽⁷⁾ = A₇ × y_c⁽⁷⁾ = 11.5 × 29.85 = 343.275 (см³)

где y_c⁽¹⁾ - расстояние от центра тяжести двутавра №1 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽²⁾ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №2 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽³⁾ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №3 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽⁴⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №4 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽⁵⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №5 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽⁶⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №6 до оси Ox (по оси Oy), y_c⁽⁷⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №7 до оси Ox (по оси Oy).

Получим, S_x = 1485.46 + 2310 + 70 + 343.275 + 47.725 + 47.725 + 343.275 = 4647.46 (см³)

Статический момент сложной фигуры относительно оси Oy равен сумме статических моментов простых фигур составляющих эту фигуру.

S_y = S_y⁽¹⁾ + S_y⁽²⁾ + S_y⁽³⁾ + S_y⁽⁴⁾ + S_y⁽⁵⁾ + S_y⁽⁶⁾ + S_y⁽⁷⁾

где S_y⁽¹⁾ - статический момент двутавра №1 отн. оси Oy; S_y⁽²⁾ - статический момент прямоугольника №2 отн. оси Oy; S_y⁽³⁾ - статический момент прямоугольника №3 отн. оси Oy; S_y⁽⁴⁾ - статический момент уголка №4 отн. оси Oy; S_y⁽⁵⁾ - статический момент уголка №5 отн. оси Oy; S_y⁽⁶⁾ - статический момент уголка №6 отн. оси Oy; S_y⁽⁷⁾ - статический момент уголка №7 отн. оси Oy.

S_y⁽¹⁾ = A₁ × x_c⁽¹⁾ = 87.38 × 17.5 = 1529.15 (см³)
S_y⁽²⁾ = A₂ × x_c⁽²⁾ = 70 × 17.5 = 1225 (см³)
S_y⁽³⁾ = A₃ × x_c⁽³⁾ = 70 × 17.5 = 1225 (см³)
S_y⁽⁴⁾ = A₄ × x_c⁽⁴⁾ = 11.5 × 32.85 = 377.775 (см³)
S_y⁽⁵⁾ = A₅ × x_c⁽⁵⁾ = 11.5 × 32.85 = 377.775 (см³)
S_y⁽⁶⁾ = A₆ × x_c⁽⁶⁾ = 11.5 × 2.15 = 24.725 (см³)
S_y⁽⁷⁾ = A₇ × x_c⁽⁷⁾ = 11.5 × 2.15 = 24.725 (см³)

где x_c⁽¹⁾ - расстояние от центра тяжести двутавра №1 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽²⁾ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №2 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽³⁾ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №3 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽⁴⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №4 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽⁵⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №5 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽⁶⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №6 до оси Oy (по оси Ox), x_c⁽⁷⁾ - расстояние от центра тяжести уголка №7 до оси Oy (по оси Ox).

Получим, S_y = 1529.15 + 1225 + 1225 + 377.775 + 377.775 + 24.725 + 24.725 = 4784.15 (см³)

Центр тяжести

Зная площадь сечения и его статические моменты можно определить координаты центра тяжести по следующим формулам:

x_c = S_y/A = 4784.15 / 273.38 = 17.5 (см)
y_c = S_x/A = 4647.46 / 273.38 = 17 (см)

Значения координат получены относительно выбранного начала координат O. На схеме центр тяжести обозначен точкой С.

Моменты инерции

Моменты инерции будем вычислять относительно центральных осей фигуры (центра тяжести).

I_xс = I_xс⁽¹⁾ + I_xс⁽²⁾ + I_xс⁽³⁾ + I_xс⁽⁴⁾ + I_xс⁽⁵⁾ + I_xс⁽⁶⁾ + I_xс⁽⁷⁾

где: I_xc⁽¹⁾ - осевой центральный момент инерции двутавра №1 отн. оси X_c; I_xc⁽²⁾ - осевой центральный момент инерции прямоугольника №2 отн. оси X_c; I_xc⁽³⁾ - осевой центральный момент инерции прямоугольника №3 отн. оси X_c; I_xc⁽⁴⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №4 отн. оси X_c; I_xc⁽⁵⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №5 отн. оси X_c; I_xc⁽⁶⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №6 отн. оси X_c; I_xc⁽⁷⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №7 отн. оси X_c.

Вычислим осевой центральный момент инерции двутавра №1 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽¹⁾ = I'_x⁽¹⁾ + y₁² × A₁

где: I'_x⁽¹⁾ - осевой момент инерции двутавра №1 относительно собственного центра тяжести, y₁ - расстояние от центра тяжести двутавра №1 до оси Xc (по оси Yc);

I'_x⁽¹⁾ = 14210 (см⁴) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93

I_xc⁽¹⁾ = 14210 + (17 - 17)² × 87.38 = 14210 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №2 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽²⁾ = I'_x⁽²⁾ + y₂² × A₂

где: I'_x⁽²⁾ - осевой момент инерции прямоугольника №2 относительно собственного центра тяжести, y₂ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №2 до оси Xc (по оси Yc);

I_x⁽²⁾ = b₂ × h³₂/12 = 35 × 2³/12 = 23.333 (см⁴)

I_xc⁽²⁾ = 23.333 + (33 - 17)² × 70 = 17943.333 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №3 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽³⁾ = I'_x⁽³⁾ + y₃² × A₃

где: I'_x⁽³⁾ - осевой момент инерции прямоугольника №3 относительно собственного центра тяжести, y₃ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №3 до оси Xc (по оси Yc);

I_x⁽³⁾ = b₃ × h³₃/12 = 35 × 2³/12 = 23.333 (см⁴)

I_xc⁽³⁾ = 23.333 + (17 - 1)² × 70 = 17943.333 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №4 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽⁴⁾ = I'_x⁽⁴⁾ + y₄² × A₄

где: I'_x⁽⁴⁾ - осевой момент инерции уголка №4 относительно собственного центра тяжести, y₄ - расстояние от центра тяжести уголка №4 до оси Xc (по оси Yc);

I'_x⁽⁴⁾ = I_x⁽⁴⁾ × cos²(α) + I_y⁽⁴⁾ × sin²(α) - I_xy⁽⁴⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽⁴⁾ = 59.84 (см⁴), I_y⁽⁴⁾ = 59.84 (см⁴), I_xy⁽⁴⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I'_x⁽⁴⁾ = 59.84 × cos²(-180) + 59.84 × sin²(-180) - 0 × sin(2 × -180) = 59.84 (см⁴)

I_xc⁽⁴⁾ = 59.84 + (29.85 - 17)² × 11.5 = 1958.749 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №5 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽⁵⁾ = I'_x⁽⁵⁾ + y₅² × A₅

где: I'_x⁽⁵⁾ - осевой момент инерции уголка №5 относительно собственного центра тяжести, y₅ - расстояние от центра тяжести уголка №5 до оси Xc (по оси Yc);

I'_x⁽⁵⁾ = I_x⁽⁵⁾ × cos²(α) + I_y⁽⁵⁾ × sin²(α) - I_xy⁽⁵⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽⁵⁾ = 59.84 (см⁴), I_y⁽⁵⁾ = 59.84 (см⁴), I_xy⁽⁵⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I'_x⁽⁵⁾ = 59.84 × cos²(-270) + 59.84 × sin²(-270) - 0 × sin(2 × -270) = 59.84 (см⁴)

I_xc⁽⁵⁾ = 59.84 + (17 - 4.15)² × 11.5 = 1958.749 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №6 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽⁶⁾ = I'_x⁽⁶⁾ + y₆² × A₆

где: I'_x⁽⁶⁾ - осевой момент инерции уголка №6 относительно собственного центра тяжести, y₆ - расстояние от центра тяжести уголка №6 до оси Xc (по оси Yc);

I'_x⁽⁶⁾ = 59.84 (см⁴) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I_xc⁽⁶⁾ = 59.84 + (17 - 4.15)² × 11.5 = 1958.749 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №7 отн. оси X_c по формуле:

I_xc⁽⁷⁾ = I'_x⁽⁷⁾ + y₇² × A₇

где: I'_x⁽⁷⁾ - осевой момент инерции уголка №7 относительно собственного центра тяжести, y₇ - расстояние от центра тяжести уголка №7 до оси Xc (по оси Yc).

I'_x⁽⁷⁾ = I_x⁽⁷⁾ × cos²(α) + I_y⁽⁷⁾ × sin²(α) - I_xy⁽⁷⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽⁷⁾ = 59.84 (см⁴), I_y⁽⁷⁾ = 59.84 (см⁴), I_xy⁽⁷⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I'_x⁽⁷⁾ = 59.84 × cos²(-90) + 59.84 × sin²(-90) - 0 × sin(2 × -90) = 59.84 (см⁴)

I_xc⁽⁷⁾ = 59.84 + (29.85 - 17)² × 11.5 = 1958.749 (см⁴)

Получим, I_xc = 14210 + 17943.333 + 17943.333 + 1958.749 + 1958.749 + 1958.749 + 1958.749 = 57931.662 (см⁴)

I_yс = I_yс⁽¹⁾ + I_yс⁽²⁾ + I_yс⁽³⁾ + I_yс⁽⁴⁾ + I_yс⁽⁵⁾ + I_yс⁽⁶⁾ + I_yс⁽⁷⁾

где: I_yc⁽¹⁾ - осевой центральный момент инерции двутавра №1 отн. оси Y_c; I_yc⁽²⁾ - осевой центральный момент инерции прямоугольника №2 отн. оси Y_c; I_yc⁽³⁾ - осевой центральный момент инерции прямоугольника №3 отн. оси Y_c; I_yc⁽⁴⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №4 отн. оси Y_c; I_yc⁽⁵⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №5 отн. оси Y_c; I_yc⁽⁶⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №6 отн. оси Y_c; I_yc⁽⁷⁾ - осевой центральный момент инерции уголка №7 отн. оси Y_c.

Вычислим осевой центральный момент инерции двутавра №1 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽¹⁾ = I'_y⁽¹⁾ + x₁² × A₁

где: I'_y⁽¹⁾ - осевой момент инерции двутавра №1 относительно собственного центра тяжести, x₁ - расстояние от центра тяжести двутавра №1 до оси Yc (по оси Xc);

I'_y⁽¹⁾ = 2034.1 (см⁴) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93

I_yc⁽¹⁾ = 2034.1 + (17.5 - 17.5)² × 87.38 = 2034.1 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №2 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽²⁾ = I'_y⁽²⁾ + x₂² × A₂

где: I'_y⁽²⁾ - осевой момент инерции прямоугольника №2 относительно собственного центра тяжести, x₂ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №2 до оси Yc (по оси Xc);

I_x⁽²⁾ = h₂ × b³₂/12 = 2 × 35³/12 = 7145.833 (см⁴)

I_yc⁽²⁾ = 7145.833 + (17.5 - 17.5)² × 70 = 7145.833 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №3 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽³⁾ = I'_y⁽³⁾ + x₃² × A₃

где: I'_y⁽³⁾ - осевой момент инерции прямоугольника №3 относительно собственного центра тяжести, x₃ - расстояние от центра тяжести прямоугольника №3 до оси Yc (по оси Xc);

I_x⁽³⁾ = h₃ × b³₃/12 = 2 × 35³/12 = 7145.833 (см⁴)

I_yc⁽³⁾ = 7145.833 + (17.5 - 17.5)² × 70 = 7145.833 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №4 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽⁴⁾ = I'_y⁽⁴⁾ + x₄² × A₄

где: I'_y⁽⁴⁾ - осевой момент инерции уголка №4 относительно собственного центра тяжести, x₄ - расстояние от центра тяжести уголка №4 до оси Yc (по оси Xc);

I'_y⁽⁴⁾ = I_x⁽⁴⁾ × sin²(α) + I_y⁽⁴⁾ × cos²(α) + I_xy⁽⁴⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽⁴⁾ = 59.84 (см⁴), I_y⁽⁴⁾ = 59.84 (см⁴), I_xy⁽⁴⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I'_y⁽⁴⁾ = 59.84 × sin²(-180) + 59.84 × cos²(-180) + 0 × sin(2 × -180) = 59.84 (см⁴)

I_yc⁽⁴⁾ = 59.84 + (32.85 - 17.5)² × 11.5 = 2769.499 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №5 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽⁵⁾ = I'_y⁽⁵⁾ + x₅² × A₅

где: I'_y⁽⁵⁾ - осевой момент инерции уголка №5 относительно собственного центра тяжести, x₅ - расстояние от центра тяжести уголка №5 до оси Yc (по оси Xc);

I'_y⁽⁵⁾ = I_x⁽⁵⁾ × sin²(α) + I_y⁽⁵⁾ × cos²(α) + I_xy⁽⁵⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽⁵⁾ = 59.84 (см⁴), I_y⁽⁵⁾ = 59.84 (см⁴), I_xy⁽⁵⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I'_y⁽⁵⁾ = 59.84 × sin²(-270) + 59.84 × cos²(-270) + 0 × sin(2 × -270) = 59.84 (см⁴)

I_yc⁽⁵⁾ = 59.84 + (32.85 - 17.5)² × 11.5 = 2769.499 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №6 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽⁶⁾ = I'_y⁽⁶⁾ + x₆² × A₆

где: I'_y⁽⁶⁾ - осевой момент инерции уголка №6 относительно собственного центра тяжести, x₆ - расстояние от центра тяжести уголка №6 до оси Yc (по оси Xc);

I'_y⁽⁶⁾ = 59.84 (см⁴) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I_yc⁽⁶⁾ = 59.84 + (17.5 - 2.15)² × 11.5 = 2769.499 (см⁴)

Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №7 отн. оси Y_c по формуле:

I_yc⁽⁷⁾ = I'_y⁽⁷⁾ + x₇² × A₇

где: I'_y⁽⁷⁾ - осевой момент инерции уголка №7 относительно собственного центра тяжести, x₇ - расстояние от центра тяжести уголка №7 до оси Yc (по оси Xc).

I'_y⁽⁷⁾ = I_x⁽⁷⁾ × sin²(α) + I_y⁽⁷⁾ × cos²(α) + I_xy⁽⁷⁾ × sin(2 × α),

где: I_x⁽⁷⁾ = 59.84 (см⁴), I_y⁽⁷⁾ = 59.84 (см⁴), I_xy⁽⁷⁾ = 0 (см) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93

I'_y⁽⁷⁾ = 59.84 × sin²(-90) + 59.84 × cos²(-90) + 0 × sin(2 × -90) = 59.84 (см⁴)

I_yc⁽⁷⁾ = 59.84 + (17.5 - 2.15)² × 11.5 = 2769.499 (см⁴)

Получим, I_yc = 2034.1 + 7145.833 + 7145.833 + 2769.499 + 2769.499 + 2769.499 + 2769.499 = 27403.762 (см⁴)

Моменты сопротивления

Осевым моментом сопротивления площади сечения относительно главной центральной оси называется отношение момента инерции площади относительно этой же оси к расстоянию до наиболее удаленной точки от этой оси.

W_xс = I_xс/y_max = 57931.662/17 = 3407.745 (см³)

W_yс = I_yс/x_max = 27403.762/17.5 = 1565.929 (см³)