Пример №1. Шарнирно-опертая балка

---

1. Согласно схеме решения задач статики определяем, что для нахождения неизвестных реакций необходимо рассмотреть равновесие балки.
ΣF_x = 0:    P₁*cos(45) + H_A = 0
ΣM_A = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
- P₁*sin(45)*2 + q₁*3.5*(2 - 3.5/2) - P₂*4.5 + M₁ + R_B*7 = 0
ΣM_B = 0:   Найдем сумму моментов относительно шарнирно-подвижной опоры в точке B:
- P₁*sin(45)*9 + q₁*3.5*(9 - 3.5/2) - R_A*7 + P₂*2.5 + M₁ = 0
2. Вычислим реакцию шарнирно-подвижной опоры в точке B:
R_B = ( P₁*sin(45)*2 - q₁*3.5*(2 - 3.5/2) + P₂*4.5 - M₁) / 7 = ( 5*sin(45)*2 - 10*3.5*(2 - 3.5/2) + 5*4.5 - 10) / 7 = 1.55 (кН)
3. Вычислим реакцию шарнирно-неподвижной опоры в точке A:
R_A = ( - P₁*sin(45)*9 + q₁*3.5*(9 - 3.5/2) + P₂*2.5 + M₁) / 7 = ( - 5*sin(45)*9 + 10*3.5*(9 - 3.5/2) + 5*2.5 + 10) / 7 = 34.92 (кН)
4. Решаем полученную систему уравнений, находим неизвестные:
H_A = - P₁*cos(45) = - 5*0.7071 = -3.54 (кН)
5. Выполним проверку решения, подставляя найденные значения в уравнение равновесия относительно оси Oy:
ΣF_y = 0:    P₁*sin(45) - q₁*3.5 + R_A - P₂ + R_B = 5*0.7071 - 10*3.5 + 34.92*1 - 5 + 1.55*1 = 0

---

Рассмотрим первый участок 0 ≤ x₁ < 1

На данном участке нагрузок нет.

Рассмотрим второй участок 1 ≤ x₂ < 3

Продольная сила N:
N(x₂) = - P₁*cos(45)
Значения N на краях участка:
N₂(1) = - 5*0.7071 = -3.54 (кН)
N₂(3) = - 5*0.7071 = -3.54 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x₂) = P₁*sin(45) - q₁*(x₂ - 1)
Значения Q на краях участка:
Q₂(1) = 5*0.71 - 10*(1 - 1) = 3.54 (кН)
Q₂(3) = 5*0.71 - 10*(3 - 1) = -16.46 (кН)

На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:x = 0.35
Изгибающий момент M:
M(x₂) = P₁*(x₂ - 1)*sin(45) - q₁*(x₂ - 1)²/2
Значения M на краях участка:
M₂(1) = 5*(1 - 1)*0.7071 - 10*(1 - 1)²/2 = 0 (кН*м)
M₂(3) = 5*(3 - 1)*0.7071 - 10*(3 - 1)²/2 = -12.93 (кН*м)

Локальный экстремум в точке x = 0.35:
M₂(1.35) = 5*(1.35 - 1)*0.7071 - 10*(1.35 - 1)²/2 = 0.63 (кН*м)

Рассмотрим третий участок 3 ≤ x₃ < 4.5

Продольная сила N:
N(x₃) = - P₁*cos(45) + H_A
Значения N на краях участка:
N₃(3) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
N₃(4.50) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x₃) = P₁*sin(45) - q₁*(x₃ - 1) + R_A
Значения Q на краях участка:
Q₃(3) = 5*0.71 - 10*(3 - 1) + 34.92 = 18.45 (кН)
Q₃(4.50) = 5*0.71 - 10*(4.5 - 1) + 34.92 = 3.45 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x₃) = P₁*(x₃ - 1)*sin(45) - q₁*(x₃ - 1)²/2 + R_A*(x₃ - 3)
Значения M на краях участка:
M₃(3) = 5*(3 - 1)*0.7071 - 10*(3 - 1)²/2 + 34.92*(3 - 3) = -12.93 (кН*м)
M₃(4.50) = 5*(4.50 - 1)*0.7071 - 10*(4.50 - 1)²/2 + 34.92*(4.50 - 3) = 3.50 (кН*м)

Рассмотрим четвертый участок 4.5 ≤ x₄ < 7.5

Продольная сила N:
N(x₄) = - P₁*cos(45) + H_A
Значения N на краях участка:
N₄(4.50) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
N₄(7.50) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x₄) = P₁*sin(45) - q₁*(4.5 - 1) + R_A
Значения Q на краях участка:
Q₄(4.50) = 5*0.71 - 10*(4.5 - 1) + 34.92 = 3.45 (кН)
Q₄(7.50) = 5*0.71 - 10*(4.5 - 1) + 34.92 = 3.45 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x₄) = P₁*(x₄ - 1)*sin(45) - q₁*(4.5 - 1)*[(x₄ - 4.50) + (4.50 - 1)/2] + R_A*(x₄ - 3)
Значения M на краях участка:
M₄(4.50) = 5*(4.50 - 1)*0.7071 - 10*3.5*(0 + 1.75) + 34.92*(4.50 - 3) = 3.50 (кН*м)
M₄(7.50) = 5*(7.50 - 1)*0.7071 - 10*3.5*(3 + 1.75) + 34.92*(7.50 - 3) = 13.86 (кН*м)

Рассмотрим 5-й участок 7.5 ≤ x₅ < 9

Продольная сила N:
N(x₅) = - P₁*cos(45) + H_A
Значения N на краях участка:
N₅(7.50) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
N₅(9) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x₅) = P₁*sin(45) - q₁*(4.5 - 1) + R_A - P₂
Значения Q на краях участка:
Q₅(7.50) = 5*0.71 - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55 (кН)
Q₅(9) = 5*0.71 - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x₅) = P₁*(x₅ - 1)*sin(45) - q₁*(4.5 - 1)*[(x₅ - 4.50) + (4.50 - 1)/2] + R_A*(x₅ - 3) - P₂*(x₅ - 7.5)
Значения M на краях участка:
M₅(7.50) = 5*(7.50 - 1)*0.7071 - 10*3.5*(3 + 1.75) + 34.92*(7.50 - 3) - 5*(7.50 - 7.5) = 13.86 (кН*м)
M₅(9) = 5*(9 - 1)*0.7071 - 10*3.5*(4.50 + 1.75) + 34.92*(9 - 3) - 5*(9 - 7.5) = 11.55 (кН*м)

Рассмотрим 6-й участок 9 ≤ x₆ < 10

Продольная сила N:
N(x₆) = - P₁*cos(45) + H_A
Значения N на краях участка:
N₆(9) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
N₆(10) = - 5*0.7071 + 3.54 = 0 (кН)
Поперечная сила Q:
Q(x₆) = P₁*sin(45) - q₁*(4.5 - 1) + R_A - P₂
Значения Q на краях участка:
Q₆(9) = 5*0.71 - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55 (кН)
Q₆(10) = 5*0.71 - 10*(4.5 - 1) + 34.92 - 5 = -1.55 (кН)
Изгибающий момент M:
M(x₆) = P₁*(x₆ - 1)*sin(45) - q₁*(4.5 - 1)*[(x₆ - 4.50) + (4.50 - 1)/2] + R_A*(x₆ - 3) - P₂*(x₆ - 7.5) - M₁
Значения M на краях участка:
M₆(9) = 5*(9 - 1)*0.7071 - 10*3.5*(4.50 + 1.75) + 34.92*(9 - 3) - 5*(9 - 7.5) - 10 = 1.55 (кН*м)
M₆(10) = 5*(10 - 1)*0.7071 - 10*3.5*(5.50 + 1.75) + 34.92*(10 - 3) - 5*(10 - 7.5) - 10 = 0 (кН*м)