Суммарную площадь фигуры вычислим по формуле:
A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7
где: A1 - площадь двутавра №1, A2 - площадь прямоугольника №2, A3 - площадь прямоугольника №3, A4 - площадь уголка №4, A5 - площадь уголка №5, A6 - площадь уголка №6, A7 - площадь уголка №7.A1 = 87.38 (см2) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93 = 87.38 (см2) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93
A2 =
A3 =
A4 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
A5 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
A6 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
A7 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93 = 11.5 (см2) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
Получим, A = 87.38 + 70 + 70 + 11.5 + 11.5 + 11.5 + 11.5 = 273.38 (см2)
Обозначим начало координат в самой левой нижней точке сечения. Тогда статический момент сложной фигуры относительно оси Ox равен сумме статических моментов простых фигур составляющих эту фигуру.
Sx = Sx(1) + Sx(2) + Sx(3) + Sx(4) + Sx(5) + Sx(6) + Sx(7)
где Sx(1) - статический момент двутавра №1 отн. оси Ox; Sx(2) - статический момент прямоугольника №2 отн. оси Ox; Sx(3) - статический момент прямоугольника №3 отн. оси Ox; Sx(4) - статический момент уголка №4 отн. оси Ox; Sx(5) - статический момент уголка №5 отн. оси Ox; Sx(6) - статический момент уголка №6 отн. оси Ox; Sx(7) - статический момент уголка №7 отн. оси Ox.Sx(1) = A1 × yc(1) = 87.38 × 17 = 1485.46 (см3)Sx(2) = A2 × yc(2) = 70 × 33 = 2310 (см3)Sx(3) = A3 × yc(3) = 70 × 1 = 70 (см3)Sx(4) = A4 × yc(4) = 11.5 × 29.85 = 343.275 (см3)Sx(5) = A5 × yc(5) = 11.5 × 4.15 = 47.725 (см3)Sx(6) = A6 × yc(6) = 11.5 × 4.15 = 47.725 (см3)Sx(7) = A7 × yc(7) = 11.5 × 29.85 = 343.275 (см3)
где yc(1) - расстояние от центра тяжести двутавра №1 до оси Ox (по оси Oy), yc(2) - расстояние от центра тяжести прямоугольника №2 до оси Ox (по оси Oy), yc(3) - расстояние от центра тяжести прямоугольника №3 до оси Ox (по оси Oy), yc(4) - расстояние от центра тяжести уголка №4 до оси Ox (по оси Oy), yc(5) - расстояние от центра тяжести уголка №5 до оси Ox (по оси Oy), yc(6) - расстояние от центра тяжести уголка №6 до оси Ox (по оси Oy), yc(7) - расстояние от центра тяжести уголка №7 до оси Ox (по оси Oy).Получим, Sx = 1485.46 + 2310 + 70 + 343.275 + 47.725 + 47.725 + 343.275 = 4647.46 (см3)
Статический момент сложной фигуры относительно оси Oy равен сумме статических моментов простых фигур составляющих эту фигуру.
Sy = Sy(1) + Sy(2) + Sy(3) + Sy(4) + Sy(5) + Sy(6) + Sy(7)
где Sy(1) - статический момент двутавра №1 отн. оси Oy; Sy(2) - статический момент прямоугольника №2 отн. оси Oy; Sy(3) - статический момент прямоугольника №3 отн. оси Oy; Sy(4) - статический момент уголка №4 отн. оси Oy; Sy(5) - статический момент уголка №5 отн. оси Oy; Sy(6) - статический момент уголка №6 отн. оси Oy; Sy(7) - статический момент уголка №7 отн. оси Oy.Sy(1) = A1 × xc(1) = 87.38 × 17.5 = 1529.15 (см3)Sy(2) = A2 × xc(2) = 70 × 17.5 = 1225 (см3)Sy(3) = A3 × xc(3) = 70 × 17.5 = 1225 (см3)Sy(4) = A4 × xc(4) = 11.5 × 32.85 = 377.775 (см3)Sy(5) = A5 × xc(5) = 11.5 × 32.85 = 377.775 (см3)Sy(6) = A6 × xc(6) = 11.5 × 2.15 = 24.725 (см3)Sy(7) = A7 × xc(7) = 11.5 × 2.15 = 24.725 (см3)
где xc(1) - расстояние от центра тяжести двутавра №1 до оси Oy (по оси Ox), xc(2) - расстояние от центра тяжести прямоугольника №2 до оси Oy (по оси Ox), xc(3) - расстояние от центра тяжести прямоугольника №3 до оси Oy (по оси Ox), xc(4) - расстояние от центра тяжести уголка №4 до оси Oy (по оси Ox), xc(5) - расстояние от центра тяжести уголка №5 до оси Oy (по оси Ox), xc(6) - расстояние от центра тяжести уголка №6 до оси Oy (по оси Ox), xc(7) - расстояние от центра тяжести уголка №7 до оси Oy (по оси Ox).Получим, Sy = 1529.15 + 1225 + 1225 + 377.775 + 377.775 + 24.725 + 24.725 = 4784.15 (см3)
Зная площадь сечения и его статические моменты можно определить координаты центра тяжести по следующим формулам:
xc = Sy/A = 4784.15 / 273.38 = 17.5 (см)yc = Sx/A = 4647.46 / 273.38 = 17 (см)
Значения координат получены относительно выбранного начала координат O. На схеме центр тяжести обозначен точкой С.
Моменты инерции будем вычислять относительно центральных осей фигуры (центра тяжести).
Ixс = Ixс(1) + Ixс(2) + Ixс(3) + Ixс(4) + Ixс(5) + Ixс(6) + Ixс(7)
Вычислим осевой центральный момент инерции двутавра №1 отн. оси Xc по формуле:
Ixc(1) = I'x(1) + y12 × A1
I'x(1) = 14210 (см4) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93
Ixc(1) = 14210 + (17 - 17)2 × 87.38 = 14210 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №2 отн. оси Xc по формуле:
Ixc(2) = I'x(2) + y22 × A2
Ix(2) = b2 × h32/12 = 35 × 23/12 = 23.333 (см4)
Ixc(2) = 23.333 + (33 - 17)2 × 70 = 17943.333 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №3 отн. оси Xc по формуле:
Ixc(3) = I'x(3) + y32 × A3
Ix(3) = b3 × h33/12 = 35 × 23/12 = 23.333 (см4)
Ixc(3) = 23.333 + (17 - 1)2 × 70 = 17943.333 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №4 отн. оси Xc по формуле:
Ixc(4) = I'x(4) + y42 × A4
I'x(4) = Ix(4) × cos2(α) + Iy(4) × sin2(α) - Ixy(4) × sin(2 × α),
I'x(4) = 59.84 × cos2(-180) + 59.84 × sin2(-180) - 0 × sin(2 × -180) = 59.84 (см4)
Ixc(4) = 59.84 + (29.85 - 17)2 × 11.5 = 1958.749 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №5 отн. оси Xc по формуле:
Ixc(5) = I'x(5) + y52 × A5
I'x(5) = Ix(5) × cos2(α) + Iy(5) × sin2(α) - Ixy(5) × sin(2 × α),
I'x(5) = 59.84 × cos2(-270) + 59.84 × sin2(-270) - 0 × sin(2 × -270) = 59.84 (см4)
Ixc(5) = 59.84 + (17 - 4.15)2 × 11.5 = 1958.749 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №6 отн. оси Xc по формуле:
Ixc(6) = I'x(6) + y62 × A6
I'x(6) = 59.84 (см4) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
Ixc(6) = 59.84 + (17 - 4.15)2 × 11.5 = 1958.749 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №7 отн. оси Xc по формуле:
Ixc(7) = I'x(7) + y72 × A7
I'x(7) = Ix(7) × cos2(α) + Iy(7) × sin2(α) - Ixy(7) × sin(2 × α),
I'x(7) = 59.84 × cos2(-90) + 59.84 × sin2(-90) - 0 × sin(2 × -90) = 59.84 (см4)
Ixc(7) = 59.84 + (29.85 - 17)2 × 11.5 = 1958.749 (см4)
Получим, Ixc = 14210 + 17943.333 + 17943.333 + 1958.749 + 1958.749 + 1958.749 + 1958.749 = 57931.662 (см4)
Iyс = Iyс(1) + Iyс(2) + Iyс(3) + Iyс(4) + Iyс(5) + Iyс(6) + Iyс(7)
Вычислим осевой центральный момент инерции двутавра №1 отн. оси Yc по формуле:
Iyc(1) = I'y(1) + x12 × A1
I'y(1) = 2034.1 (см4) – данные получены из справочника: Двутавры широкополочные (Ш) по СТО АСЧМ 20-93
Iyc(1) = 2034.1 + (17.5 - 17.5)2 × 87.38 = 2034.1 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №2 отн. оси Yc по формуле:
Iyc(2) = I'y(2) + x22 × A2
Ix(2) = h2 × b32/12 = 2 × 353/12 = 7145.833 (см4)
Iyc(2) = 7145.833 + (17.5 - 17.5)2 × 70 = 7145.833 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции прямоугольника №3 отн. оси Yc по формуле:
Iyc(3) = I'y(3) + x32 × A3
Ix(3) = h3 × b33/12 = 2 × 353/12 = 7145.833 (см4)
Iyc(3) = 7145.833 + (17.5 - 17.5)2 × 70 = 7145.833 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №4 отн. оси Yc по формуле:
Iyc(4) = I'y(4) + x42 × A4
I'y(4) = Ix(4) × sin2(α) + Iy(4) × cos2(α) + Ixy(4) × sin(2 × α),
I'y(4) = 59.84 × sin2(-180) + 59.84 × cos2(-180) + 0 × sin(2 × -180) = 59.84 (см4)
Iyc(4) = 59.84 + (32.85 - 17.5)2 × 11.5 = 2769.499 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №5 отн. оси Yc по формуле:
Iyc(5) = I'y(5) + x52 × A5
I'y(5) = Ix(5) × sin2(α) + Iy(5) × cos2(α) + Ixy(5) × sin(2 × α),
I'y(5) = 59.84 × sin2(-270) + 59.84 × cos2(-270) + 0 × sin(2 × -270) = 59.84 (см4)
Iyc(5) = 59.84 + (32.85 - 17.5)2 × 11.5 = 2769.499 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №6 отн. оси Yc по формуле:
Iyc(6) = I'y(6) + x62 × A6
I'y(6) = 59.84 (см4) – данные получены из справочника: Уголки равнополочные по ГОСТ 8509-93
Iyc(6) = 59.84 + (17.5 - 2.15)2 × 11.5 = 2769.499 (см4)
Вычислим осевой центральный момент инерции уголка №7 отн. оси Yc по формуле:
Iyc(7) = I'y(7) + x72 × A7
I'y(7) = Ix(7) × sin2(α) + Iy(7) × cos2(α) + Ixy(7) × sin(2 × α),
I'y(7) = 59.84 × sin2(-90) + 59.84 × cos2(-90) + 0 × sin(2 × -90) = 59.84 (см4)
Iyc(7) = 59.84 + (17.5 - 2.15)2 × 11.5 = 2769.499 (см4)
Получим, Iyc = 2034.1 + 7145.833 + 7145.833 + 2769.499 + 2769.499 + 2769.499 + 2769.499 = 27403.762 (см4)
Осевым моментом сопротивления площади сечения относительно главной центральной оси называется отношение момента инерции площади относительно этой же оси к расстоянию до наиболее удаленной точки от этой оси.
Wxс = Ixс/ymax = 57931.662/17 = 3407.745 (см3)
Wyс = Iyс/xmax = 27403.762/17.5 = 1565.929 (см3)